AG39

Question

Soient \(\mathcal{F}\left( \mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) l'espace vectoriel des applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), \(E\) le sous-espace engendré par les cinq applications :

\[\displaystyle f_{1}:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2}} \ ,\ \ f_{2}:x\mapsto \cos x\ ,\ \ f_{3}:x\mapsto \sin x\ ,\ \ f_{4}:x\mapsto \cos (2x)\ ,\\ f_{5}:x\mapsto \sin (2x)\ ,\]

et \(F\) le sous-espace vectoriel engendré par \(f_{1},f_{2},f_{3}\) : \(F=\text{Vect}\left( f_{1},f_{2},f_{3}\right)\).

  1. Démontrez que \(\left\langle f\ |\ g\right\rangle =\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right)g\left( x\right) \text{d}x\) définit un produit scalaire sur \(E\).

  2. Vérifiez que \(f_{4}\) et \(f_{5}\) sont unitaires et orthogonaux.

    On admettra pour la suite que \(\mathcal{B}=\left( f_{i}\right) _{i=1,...,5}\) est une base orthonormée de \(E\).

  3. Déterminez le sous-espace vectoriel \(F^{\bot }\), orthogonal de \(F\) pour ce produit scalaire.