Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP

Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\) un endomorphisme de \(E\). On note \(\left( x|y\right)\) le produit scalaire de \(x\) et de \(y\).

1. Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), tel que : \(\forall x \in E, \vert\vert u(x)\vert\vert = \vert\vert x\vert\vert\).

   • Démontrez que : \(\forall (x,y)\in E^{2}~(u(x)|u(y)) = (x|y)\).

   • Démontrez que \(u\) est bijectif.

2. Démontrez que l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de \(E\) , muni de la loi \(\circ\), est un groupe.