Probabilité conditionnelle, évènements indépendants [Probabilités

Probabilité conditionnelle, évènements indépendants

On réalise $N$ fois une expérience $E$, on appelle $A$ et $B$ deux évènements liés à $E$. $B$ est réalisé $N_B$ fois. Parmi les réalisations de $B$,$ A$ est réalisé $N_{A\cap B}$ fois, alors la fréquence de réalisation de $A$ quand $B$ a lieu est :

$\frac{N_{A \cap B}}{N_{B}} = \frac{\frac{N_{A \cap B}}{N_{B}}}{\frac{N_{B}}{N_{A}}} = \frac{f_{N} (A \cap B)}{f_{N} (B)}$

En général, ce nombre tend vers une limite quand $N$ tend vers $+\infty$ notée $P(A/B)$ , c'est la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ est réalisé.

Définition : 1.2.2

Soit $B$ un évènement de probabilité non nulle. On déﬁnit la probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé, notée $P_B (A)$ ou encore $P(A/B)$ par :

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)} {P(B)}$

Si $A$ est un évènement de probabilité non nulle. On déﬁnit, de même, la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé : elle est notée $P_A (B)$ ou encore $P(B/A)$ par :

$P(B/A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$

On en déduit :

$P(A\cap B)=P(B/A)P(A)=P(A/B) P(B)$

Cette formule se généralise ainsi.

Propriété 1.2.2 (Formule des probabilités composées)

Pour toute suite d'évènements $(A_n)$ tels que

$P \Bigg( \bigcap_1^nA_k \Bigg) \neq0$

on a :

$P \Bigg( \bigcap_1^nA_k\Bigg)=P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/A_1\cap A_2)........P(A_n/A_1\cap A_2\cap....\cap A_{n-1})$

Cette formule se démontre par récurrence.

Définition : 1.2.3 (indépendance de deux événements)

On dit que deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ou encore, si $P(A/B)=P(A)$ dans le cas où $P(B)\neq 0$

Deux résultats importants $\{B_1 , B_2 , ..., B_n\}$ étant un système complet d'évènements tel que $\forall k\in\mathbb{N}$, $P(B_k)\neq 0$, on a $P(A)=\sum_{k=1}^n P(A\cap B_k)$. On en déduit les résultats suivants :

Formule dite "des probabilités totales” pour tout évènement $A$, on a :

$P(A)=\sum_{k=1}^n P(A/B_k)P(B_k)$

Formule de Bayes pour tout évènement $A$ tel que $P(A)\neq 0$, on a :

$\forall k \in [1, n] P (B_{k} / A) = \frac{P (A / B_{k}) P (B_{k})}{\sum_{j = 1}^{n} P (A / B_{j}) P (B_{j})}$

Un cas particulier important :

Le système complet d'évènements ${B, \bar{B}}$ , on a :

$P (A) = P (A / B) P (B) + P (A / \bar{B}) P (\bar{B})$

$P (B / A) = \frac{P (A / B) P (B)}{P (A / B) P (B) + P (A / \bar{B}) P (\bar{B})}$

Exemple : 1.2.2

Un conducteur sobre a une chance sur 1000 d'avoir un accident. Un conducteur ivre a une chance sur 50 d'avoir un accident. Un conducteur sur 100 est ivre. Un conducteur a un accident quelle est la probabilité qu'il soit ivre ?

Appelons $A$ l'événement ”avoir un accident” et $I$ l'évènement ”être ivre”.

On nous donne : $P(I)=\frac{1}{100}=0,01$, $P(A/I)=\frac{1}{50}=0,02$ et $P(A/I)=\frac{1}{1000}=0,001$

On cherche $P(I/A)$

On obtient :

$P(I/A)=\frac{0,01~\times~0,02}{0,01~\times~0,02~+~0,99~\times~0,001}=\frac{0,0002}{0,00119}\approx0,168$