Calcul des probabilités [Probabilités

Calcul des probabilités

Définition :

On notera $T$ l'ensemble des évènements associé à une expérience aléatoire. Un évènement est ici un sous-ensemble de $\Omega$.

Définition : 1.2.1

Soit $\Omega$ l'univers associé à une expérience aléatoire. On appelle probabilité sur $\Omega$ toute application $P : T \to [0; 1]$ telle que :

Axiome 1 : $P(\Omega)=1$.

Axiome 2 : Pour toute suite d'évènement $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ disjoints deux à deux :

$P \Bigg ( \bigcup_{i=1}^n A_i \Bigg )=\sum_{i=1}^n P(A_i)$

Propriété 1.2.1

A partir de la définition précédente, on obtient :

- A et B étant deux évènements tels que $A \cap B = \emptyset$ , on a $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

- Dans le cas particulier où $A = \emptyset$ , nous obtenons $P (\emptyset) = 0$ .

- Pour tout évènement $A$, $P (\bar{A}) = 1 - P (A)$

- Pour tous évènements $A$ et $B$ : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

- Cette dernière formule se généralise ainsi :

$P\Bigg(\bigcup_0^nA_k\Bigg)=\sum_0^n\sum_{i_1<...<i_k}(-1)^{k+1}P(A_{i1}\cap...\cap A_{ik})$

- L'univers $\Omega$ étant fini, la probabilité d'un évènement $A$ est égal à la somme des probabilités des évènements élémentaires qui constituent $A$.

Remarque : 1.2.1

On appelle système complet d'évènements tout sous-ensemble $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$ de $P(\Omega)$, tel que :

- $\forall i\neq j$, $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ ,

- $\bigcup_{k=1}^nA_k=\Omega$.

Cas particulier important : l'équiprobabilité

L'équiprobabilité correspond au cas où tous les évènements élémentaires ont la même probabilité d'apparition.

Si les $n$ évènements élémentaires sont équiprobables, chacun a la probabilité $\frac{1}{n}$. On en déduit :

$P (A) = \frac{card A}{card Ω} = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles}$