Exercice 17b - Loi de la différence de deux lois Normales

On suppose que la v.a.r. \(X\) suit une loi Normale \(N (m, \sigma)\)

Question

1. Quelle est la loi suivie par la la v.a.r. \((−X)\) ?

Indice

Utiliser le changement de variable bijectif g : X → − X g : X toward -X ?

Question

2. On suppose que la v.a.r. \(Y\) suit une loi Normale \(N (\mu, \sigma)\) et que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.

Quelle est la loi suivie par la v.a.r. \((X − Y )\) ?

Indice

Voir cours : loi de la somme de deux v.a.r. indépendantes et Normales (§ 3.2.6).

Question

3. Application : Une perceuse automatique réalise dans des tôles un trou dont le diamètre \(X\) est une variable aléatoire normale de moyenne \(m_X = 10\) et d'écart-type \(\sigma_X = 0, 04\) (en mm). Chaque trou percé est destiné à recevoir un rivet cylindrique dont le diamètre \(Y\) est une variable aléatoire normale de moyenne \(m_Y = 9, 97\) et d'écart-type \(\sigma_Y = 0, 03\) (en mm). L'ajustement est correct si le jeu \(Z = X − Y\) vérifie \(0, 01 \leq Z \leq 0, 13\). Quelle est la probabilité qu'un rivet, choisi au hasard, puisse être ajusté dans l'un des trous choisi au hasard ?

Indice

Justifier que \(Z\) suit la loi Normale \(N (0, 03; 0, 05)\), il suffit, ensuite, d'utiliser le changement de variable habituel et la table de la loi Normale centrée réduite.