Exercice 15b - Couple de variables aléatoires

On définit un couple \((X, Y )\) de variables aléatoires absolument continues dont la densité de probabilité \(f\) est définie par :

{ f ( x , y ) = 2 e − 1 xe y si ( x , y ) ∈ [ 0 ; 1 ] × [ 0 ; 1 ] f ( x , y ) = 0 ailleurs left lbrace matrix{f(x,y) # "=" # {2}over{e-1}xe^y # si # (x,y) in [0;1] times [0;1] # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ ## f(x,y) # "=" # 0 # ailleurs # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ # ~ } right none

Question

1. Calculer les densités marginales \(f_X\) et \(f_Y\) des variables \(X\) et \(Y\) .

Question

2. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?

Indice

Il est assez facile de vérifier que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.