Exercice : Exercice 17a - Couple de variables aléatoires [Probabilités

On déﬁnit un couple $(X, Y )$ de variables aléatoires absolument continues dont la densité de probabilité $f$ est déﬁnie par :

{\begin{matrix} f (x, y) & = & (x + y) & si & (x, y) \in {[0; 1]}^{2} \\ f (x, y) & = & 0 & ailleurs \end{matrix}

Question

1. Calculer les densités marginales $f_X$ et$ f_Y$ des variables $X$ et $Y$ .

Solution

La densité marginale de X est déﬁnie de la façon suivante :

– $x \in [0; 1] $alors $f_X (x) = \int^1_0 (x + y)dy = \frac {1}{2}+x$

– Si $x \notin [0; 1] $alors $f_X (x) = 0$

La densité marginale de Y est déﬁnie de la façon suivante :

– Si $y \in [0; 1] $alors $f_Y (y) = \int^1_0 (x + y)dx = \frac {1}{2}+y$

– Si $y \notin [0; 1] $alors $f_Y (y) = 0$

Question

2. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Solution

Il est facile de voir que : $f_X (x) \times f_Y (y) = f_{X,Y} (x, y)$ pour tout $(x; y) \in [0, 1]^2$ donc les variables $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

Question

3. Calculer la loi de la variable $Z = X + Y$

Solution

Réécrivons la densité du couple $(X, Y )$ en utilisant les fonctions indicatrices.

$f_{X, Y} (x, y) = (x + y) 1_{{[0,1]}^{2}} (x, y)$

Question

4. Calculer la covariance du couple $(X, Y )$

Solution

On a :

$E (XY) = \iint_{{[0,1]}^{2}} xy (x + y) dxdy = \frac{1}{3}$

$E (X) = \int_{[0,1]} x (\frac{1}{2} + x) dx = \frac{7}{12} = E (Y)$

Au ﬁnal :

cov$(X; Y ) = \frac {1}{3} - (\frac {7}{12})^2 = \frac {-1}{144}$