Exercice : Exercice 15a - Couple de variables aléatoires [Probabilités

On déﬁnit $f$ une application de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R^2$ par :

{\begin{matrix} f (x, y) & = & a (x^{2} + y^{2}) & si & (x, y) \in {[- 1; 1]}^{2} \\ f (x, y) & = & 0 & ailleurs \end{matrix}

où $a$ est un réel donné.

Note : on peut écrire aussi $f (x, y) = a (x^{2} + y^{2}) \times 1_{{[- 1; 1]}^{2}} (x, y)$ où $1_{{[- 1; 1]}^{2}} (x, y)$ est la fonction caractéristique de l'ensemble $[−1; 1]^2$ (égale à 1 pour tout couple de $[−1; 1]^2$ et nulle ailleurs)

Question

1. Déterminer $a$ pour que $f$ soit la densité d'un couple $(X,Y)$.

Solution

Il faut calculer l'intégrale : on réduit le domaine d'intégration en utilisant les symétries du domaine et les propriétés de parité de la fonction à intégrer.

$\int^{x=1}_{x=-1} \Bigg( \int^{y=1}_{y=-1}(x^2+y^2)dy \Bigg) dx=4 \int^{x=1}_{x=0} \Bigg( \int^{y=1}_{y=0} (x^2+y^2)dy \Bigg) dx=\frac {8}{3}$

On déduit que : $a = \frac {3}{8}$

Question

2. Trouver les densités marginales de $X$ et de $Y$ . Calculer cov $(X; Y )$. Conclure.

Solution

Du fait des symétries évoquées au 1), $X$ et $Y$ ont la même densité qui est nulle en dehors de l'intervalle $[−1; 1]$

Si $x \in [−1; 1]$ alors

$f_X(x)=2 \int^{y=1}_{y=0} \frac {3}{8} (x^2+y^2)dy = \frac {3}{4} (\frac {1}{3}+x^2)$

Pour calculer la covariance de $(X, Y )$,il faut calculer l'espérance de $X$, de $Y$ et de $XY$ .

On peut déjà remarquer que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendants puisque le produit des densités marginales n'est pas égal à la densité du couple.

$E(X) = \int^{x=1}_{x=-1} x \frac {3}{4} (\frac {1}{3}+x^2) dx = 0$

de même

$E(Y ) = 0$

$E(XY ) = \int^{x=1}_{x=-1} \Bigg( \int^{y=1}_{y=-1} (xy (x^2+y^2)) dy \Bigg) dx=0$

Finalement :

cov $(X; Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 0$

Remarque :

Rappelez vous que si $X$ et $Y$ sont indépendantes alors la covariance est nulle. MAIS la réciproque est fausse, cet exercice en donne un exemple.

Question

3. Soit $Z = Y + X$. Trouver la loi de $Z$.

Solution

Déterminons la loi de $Z = X + Y$

$P (Z = z) = \int \int_{\mathbb R} (x^2+ z-x)^2)dx = \int_{(-1\leq x\leq1)\cap(z-1\leq x\leq z+1)}(x^2(z-x)^2) dx$

Le domaine d'intégration est obtenu en remarquant que la densité du couple est nulle si $x$ et $y$ sont en dehors de l'intervalle $[−1; 1]$. Comme y est remplacé par $z − x$,on aura $z − x \in [−1; 1]$.

Plusieurs cas sont à distinguer :

– Si $(−1 \leq x \leq 1) \cap (z − 1 \leq x \leq z + 1)$ est l'ensemble vide, cela correspond à $\vert z\vert > 2$

– Si $(z + 1) \in [−1; 1]$ soit $−2 \leq z \leq 0$ alors

$P (Z = z) = \int^{z+1}_{-1} (x^2 + (z − x)^2) dx =\frac {5}{3} z^3 + 2z^2 + 2z + \frac {4}{3}$

– Si $(z − 1) \in [−1; 1]$ soit $0 \leq z \leq 2$ alors

$P (Z = z) = \int^1_{z-1} (x^2 + (z − x)^2) dx = \frac {-5}{3}z^3 + 4z^2 - 3z +\frac {4}{3}$