Exercice 16a - Somme de deux lois de Poisson
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables indépendantes qui suivent deux lois de Poisson de paramètres respectifs : \(a\) et \(b\).
Question
Déterminer la loi de la somme : \(Z = X + Y\)
Solution
On a : \(Z(\Omega) = \mathbb N\). Pour tout entier \(n\), en utilisant le système complet dénombrable d'évènements : \((X = k); k \in N\). Décomposons l'évènement \((Z = n)\)
\((Z = n) = \cup^{k=n}_{k=0}((X = k)\cap(Z = n)) = \cup^{k=n}_{k=0} ((X = k)\cap(X +Y = n)) = \cup^{k=n}_{k=0} ((X = k)\cap(Y = n−k)) = \cup^{k=n}_{k=0} ((X = k) \cap (Y = n − k))\)
En utilisant la définition des lois de Poisson et leur indépendance :
\(P (Z = n) = \sum^{k=n}_{k=0} P ((X = k) \cap (Y = n − k)) = \sum^{k=n}_{k=0}P (X = k)P (Y = n − k) = \sum^{k=n}_{k=0} \frac {a^k e^{-a}}{k !} \frac {b^{n-k}e^{-b}}{(n-k) !}\)
En faisant apparaître le développement binomial de \((a + b)^n\) :
\(P (Z = n) = \frac {e^{-a}e^{-b}}{n !} \sum^{k=n}_{k=0} n ! \frac {a^k}{k !} \frac {b^{n-k}}{(n-k) !}= \frac {e^{-a}e^{-b}}{n !} (a + b)^n = \frac {(a + b)^n e^{−(a+b)}}{n !}\)
Ce qui montre que \(X + Y\) suit une loi de Poisson de paramètre \(a + b\).