Couples de variables aléatoires discrètes
Le couple sera dit discret lorsque son image est un ensemble fini ou dénombrable.\(X\) prend les valeurs \(x_1 , x_2 , ..., x_n\) et \(Y\) prend les valeurs \(y_1 , y_2 , ..., y_m\) .
Le couple de variables aléatoires \((X, Y)\) associe à tout événement de \(\Omega\) le couple \((x_i ; y_j)\) des images conjointes de cet événement par \(X\) et par \(Y\) . Définir la loi du couple \((X, Y)\), c'est donner les probabilités : \(p_{i,j} = P [(X = x_i ) \cap (Y = y_j )]\)
Dans le cas discret fini, la loi est représentée sous la forme d'un tableau appelé tableau de contingence.
Exemple : 3.1.1
On jette un dé une première fois, le nombre porté par la face supérieure est une variable aléatoire \(X\) ; on jette à nouveau le dé jusqu'à ce que l'on obtienne un nombre différent du premier jet, le nombre obtenu est une variable aléatoire \(Y\) . On obtient ainsi un couple de variables aléatoires \((X, Y)\) défini par l'ensemble des couples \((i, j)\) avec \(i \neq j\) avec \(i\) et \(j\) dans l'ensemble \(\{1, ..., 6\}\) :
Lois marginales
La loi de probabilité de \(X (resp. Y )\) est appelée loi marginale du couple \((X, Y)\) elle s'obtient par addition des lignes (resp. des colonnes) dans le tableau de contingence.
Définition : 3.1.2
La loi marginale de \(X\) associe à \(x_i\) la probabilité :
\(P(x=x_i)=p_i.=\sum_j p_{i, j}\)
La loi marginale de \(Y\) associe à \(y_j\) la probabilité :
\(P(Y=y_j)={p.}_{j}=\sum_i p_{i,j}\)
Définition : 3.1.3 Loi conditionnelle
La loi conditionnelle de \(X\) sachant \(Y = y_j\) associe à \(x_i\) la probabilité :
\(P (X = x_i /Y = y_j ) = \frac {p_{i,j}}{{p.}_{j}}\)
Ainsi, pour l'exemple précédent (3.1.1), la loi conditionnelle de \(X\) sachant que \(Y = 3\) est définie par :
Définition : 3.1.4 Loi conditionnelle
La loi conditionnelle de \(Y\) sachant que \(X = x_i\) associe à \(y_j\) la probabilité :
\(P (Y = y_j /X = x_i ) = \frac {p_{i,j}}{p_{i}.}\)
Définition : 3.1.5 Fonction de répartition
La fonction de répartition \(F (x, y)\) est définie par :
\(F (x, y) = P ((X < x)~et~(Y < y))\)
Indépendance de X et Y
Dire que les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont indépendantes signifie que quels que soient \(i\) et \(j\), les événements \((X = x_i)~et~(Y = y_j)\) sont indépendants.
Autrement dit : les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si et seulement si :
\(p_{i,j} = {p.}_{j} p_{i}.\)
ou encore :
\(P [(X = x_i ) \cap (Y = y_j )] = P (X = x_i )P (Y = y_j )\)