Couples de variables aléatoires continues [Probabilités

Couples de variables aléatoires continues

\(X\) et \(Y\) étant deux variables aléatoires continues déﬁnies sur l'univers d'une expérience aléatoire, telles que \(X(\Omega) = [a, b]\) et \(Y (\Omega) = [c, d]\). Le couple \((X, Y)\) est déﬁni par la densité \(f_{X,Y}\) telle que :

{\begin{matrix} f_{x, y} (x, y) & \geq & 0 & \forall (x, y) & \in & [a, b] & \times & [c, d] & = & D \\ f_{x, y} (x, y) & = & 0 & \forall (x, y) & \in & ℝ^{2} & - & D \\ \iint_{D} f_{X, Y} (x, y) dxdy & = & 1 \end{matrix}

Définition : 3.1.6 Fonction de répartition

La fonction de répartition \(F_{X,Y}\) du couple \((X, Y )\) est déﬁnie par :

\(\forall (x, y) \in \mathbb R^2 , F_{X,Y} (x, y) = P (X < x~et~Y < y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f (t, u)du dt\)

Définition : 3.1.7 Densités marginales

On déﬁnit les densités marginales des variables \(X\) et \(Y\) à l'aide de la densité du couple \((X, Y )\) de la façon suivante :

Densité de \(X\) :

\(f_X (x) = \int_c^d f_{X,Y} (x, y)dy\)

Densité de \(Y\) :

\(f_Y (y) = \int_a^b f_{X,Y} (x, y)dx\)

S' il est possible de déterminer les densités marginales à partir de la densité du couple, le contraire n'est en général pas possible sans hypothèses supplémentaires sur les variables du couple.

Définition : 3.1.8 Fonction de répartition des variables marginales

On déﬁnit les fonctions de répartition marginales des variables \(X\) et \(Y\) de la façon suivante :

Fonction de répartition de \(X\) :

\(F_X (x) = \int_{-\infty}^x \int_c^d f_{X,Y} (x, y)dxdy\)

Fonction de répartition de \(Y\) :

\(F_Y (y) = \int_{-\infty}^y \int_a^b f_{X,Y} (x, y)dxdy\)

Indépendance de X et Y

Dire que les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont indépendantes signiﬁe que la densité du couple \(f_{X,Y}\) est le produit de la densité de \(X\) par la densité de \(Y\) .

\(X\) et \(Y\) sont indépendantes si et seulement si :

\(f_{X,Y} = f_X f_Y\)

Changement de variables - Théorème du transfert

Transformons un couple \((X, Y )\) de variables aléatoires continues dont la loi est connue de densité \(f_{X,Y}\) en un autre couple de variables aléatoires \((U, V)\).

On cherche à déterminer la loi de ce dernier, on cherche donc sa densité \(f_{U,V}\).

Théorème 3.1.1 (du transfert)

Soit \(h : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2\) une application bijective et diﬀérentiable.

Soit \((X, Y ) = h((U, V )) = (h_1 (U, V ), h_2 (U, V ))\) où \((X, Y )\) est un couple de variables aléatoires dont la densité\( f_{X,Y}\) est connue. La densité du couple \((U, V )\) est obtenue par :

\(f_{U,V} (u, v) = |J(h)|f_{X,Y} (h_1 (u, v), h_2 (u, v)))\)

avec

où \(J(h)\) est le jacobien de \(h\)

Voyons un cas particulier : \((X, Y ) = h((U, V )) = (2U + 3V, U - V )\)

et donc

\(f_{U,V} (u, v) = 5f_{X,Y} (2u + 3v, u - v)\)

En généralisant, on obtient : \((X, Y ) = h((U, V )) = (aU + bV, cU + dV )\)

et donc

\(f_{U,V} (u, v) = |ad - bc|f_{X,Y} (aU + bV, cU + dV )\)