Primitives et calcul intégral

Intégrale sur un segment

FondamentalPropriété

Toute primitive d'une fonction f f continue sur [ a ; b ] left [ a nitalic ; b right ] s'écrit sous la forme

F : x → ∫ a x f ( t ) dt + k F nitalic : x toward int from a to x f(t) dt + k

où k k est une constante réelle.

Si F F est une primitive de f f alors

∫ a b f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) int from a to b f(x) dx = F(b)- F(a)

Remarque

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie.

En effet, si G G est une autre primitive de f f , on a : G ( x ) = F ( x ) + k G(x)=F(x)+k .

Et donc : G ( b ) − G ( a ) = F ( b ) + k − ( F ( a ) + k ) = F ( b ) − F ( a ) G(b)-G(a)=F(b)+k-(F(a)+k)= F(b)- F(a)

Remarque

Dans les calculs il est commode d'utiliser l'écriture :

∫ a b f ( x ) dx = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) int from a to b f(x) dx = [F(x)]^b_a = F(b)- F(a)

Remarque

Le choix de la variable d'intégration ne modifie pas le résultat : ∫ a b f ( x ) dx = ∫ a b f ( t ) dt int from a to b f(x) dx = int from a to b f(t) dt . On dit que la variable d'intégration est muette, on peut remplacer x x par n'importe quelle autre lettre (sauf les bornes a a ou b b ).

Exemple

Calculer I = ∫ 0 1 ( 2 t − 1 ) 2 dt I = int from 0 to 1 (2 t-1)^2 dt et J = ∫ 1 2 x − 1 x 2 dx J = int from 1 to 2 {{x-1} over {x^2} dx }

  1. On a : I = ∫ 0 1 ( 2 t − 1 ) 2 dt = ∫ 0 1 ( 4 t 2 − 4 t + 1 ) dt I = int from 0 to 1 (2 t-1)^2 dt = int from 0 to 1 (4 t^2 - 4 t + 1) dt

    donc I = 4 ∫ 0 1 t 2 dt − 4 ∫ 0 1 t dt + ∫ 0 1 dt I = 4 int from 0 to 1 t^2 dt - 4 int from 0 to 1 t dt + int from 0 to 1 dt

    et donc I = [ 4 3 t 3 − 2 t 2 + t ] 0 1 = 4 3 − 2 + 1 − 0 = 1 3 I = left [ 4 over 3 t^3 - 2 t^2 + t right ]_0^1 = 4 over 3 - 2 +1 - 0 = 1 over 3

  2. On a : J = ∫ 1 2 x − 1 x 2 dx = ∫ 1 2 ( 1 x − 1 x 2 ) dx J = int from 1 to 2 {{x-1} over {x^2} dx } = int from 1 to 2 {left ( 1 over {x} - 1 over {x^2}right ) dx }

    donc J = [ ln x + 1 x ] 1 2 = ln 2 + 1 2 − 1 = ln 2 − 1 2 J = left [ ln x + 1 over x right ]_1^2 = ln 2 + 1 over 2 - 1 = ln 2 - 1 over 2

Intégrale indéfinie

DéfinitionIntégrale indéfinie

On désigne l'ensemble des primitives de f f par le symbole

∫ f ( x ) dx int f(x) dx

qui se lit "somme de f ( x ) dx f(x) dx " et qui est appelée intégrale indéfinie.

Les propriétés de la dérivation de la composée de deux fonctions dérivables nous permettent de donner les propriétés suivantes :

  1. ∫ u ' ( x ) cos ( u ( x ) ) dx = sin ( u ( x ) ) + k int u'(x)cos(u(x)) dx = sin(u(x)) + k

  2. ∫ u ' ( x ) sin ( u ( x ) ) dx = − cos ( u ( x ) ) + k int u'(x)sin(u(x)) dx = -cos(u(x)) + k

  3. ∫ u ' ( x ) e ( u ( x ) ) dx = e ( u ( x ) ) + k int u'(x)e^(u(x)) dx = e^(u(x)) + k

  4. Si  u u ne s'annule pas, ∫ u ' ( x ) u ( x ) dx = ln | u ( x ) | + k int {{u'(x)} over {u(x)}} dx = ln abs {u(x)} + k

  5. Si u u ne s'annule pas lorsque α ∈ ℤ − { − 1 } %alpha in setZ-{lbrace -1 rbrace} et si u u est strictement positif lorsque α %alpha n'est pas entier

    ∫ u ' ( x ) [ u ( x ) ] α dx = 1 α + 1 [ u ( x ) ] α + 1 + k int u'(x)[u(x)]^%alpha dx = 1 over {%alpha +1} [u(x)]^{%alpha+1}+ k

Exemple

Exemple

Déterminer

I = ∫ 0 1 x x 2 + 1 dx I = int from 0 to 1 {x over sqrt {x^2+1}} dx  ; J = ∫ 0 1 t t 2 + 1 dt J = int from 0 to 1 {t over {t^2+1}} dt et K ( x ) = ∫ x sin ( x 2 + 1 ) dx K(x)=int x sin(x^2+1) dx

  1. On a x x 2 + 1 = 1 2 2 x ( x 2 + 1 ) − 1 2 x over sqrt {x^2+1} = 1 over 2 2 x (x^2+1)^-{1 over 2}

    donc I = ∫ 0 1 x x 2 + 1 dx = [ x 2 + 1 ] 0 1 = 2 − 1 I = int from 0 to 1 {x over sqrt {x^2+1}} dx = left [ sqrt {x^2+1} right ]_0^1 = sqrt 2 -1

  2. J = ∫ 0 1 t t 2 + 1 dt = ∫ 0 1 1 2 × 2 t t 2 + 1 dt = [ 1 2 ln ( t 2 + 1 ) ] 0 1 = 1 2 ln 2 − 1 2 ln 1 = ln 2 J = int from 0 to 1 {t over {t^2+1}} dt = int from 0 to 1 {{1 over 2} times {{2 t} over {t^2+1}}} dt = left [ {1 over 2} ln (t^2+1) right ]_0^1 = {1 over 2} ln 2 - {1 over 2} ln 1 = ln sqrt 2

  3. K ( x ) = ∫ x sin ( x 2 + 1 ) dx = 1 2 ∫ 2 x sin ( x 2 + 1 ) dx = − 1 2 cos ( x 2 + 1 ) + k K(x) = int x sin(x^2+1) dx = 1 over 2 int 2 x sin(x^2+1) dx = -{1 over 2} cos(x^2+1)+ k