Complément : décomposition en éléments simples [ANALYSE

Complément : décomposition en éléments simples

Pour faire du calcul intégral, il est nécessaire de savoir factoriser les polynômes et décomposer les fractions rationnelles.

Définition :

Les éléments irréductibles non constants dans l'ensemble des polynômes à coefficients réels sont les polynômes de degré $1$ et les polynômes de degré $2$ à discriminant strictement négatif. On appelle élément simple toute fraction rationnelle de la forme $\frac{S}{B^{n}}$ avec $deg S < deg B$ , où $S$ et $B$ sont des polynômes, $n$ un entier naturel, et $B$ un élément irréductible.

Fondamental :

Toute fraction rationnelle s'écrit de façon unique comme somme d'un polynôme et d'éléments simples.

Exemple

Exemple :

Soit $F (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} + 8 x}{(x + 2) (x + 3)}$

On effectue la division, on obtient :

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 8 x}{(x + 2) (x + 3)} = x + \frac{2 x}{(x + 2) (x + 3)}$

On écrit ensuite

$\frac{2 x}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{a}{(x + 2)} + \frac{b}{(x + 3)}$

$a$ et $b$ étant des réels que l'on peut trouver par identification.

On obtient :

$F (x) = x + \frac{2 x}{(x + 2) (x + 3)} = x - \frac{4}{(x + 2)} + \frac{6}{(x + 3)}$

Cas les plus fréquents

Supposons que $\frac{P (x)}{Q (x)}$ soit écrit sous la forme : $\frac{P (x)}{Q (x)} = E (x) + \frac{P_{1} (x)}{Q (x)}$ , avec $deg P_{1} < deg Q$ , $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $α$ , $β$ , $γ$ , $δ$ , $λ$ , $μ$ sont des constantes réelles.

$Q$ admet des racines réelles d'ordre supérieur à 1 : exemple
$\frac{P_{1} (x)}{{(x - a)}^{3} (x - b)} = \frac{α}{{(x - a)}^{3}} + \frac{β}{{(x - a)}^{2}} + \frac{γ}{(x - a)} + \frac{δ}{(x - b)}$
$Q$ admet des racines réelles complexes conjuguées : exemple
$\frac{P_{1} (x)}{(x - a) (x - b) (x^{2} + cx + d)} = \frac{α}{(x - a)} + \frac{β}{(x - b)} + \frac{γ x + δ}{(x^{2} + cx + d)}, avec c^{2} - 4 d < 0$
$Q$ admet des racines réelles complexes conjuguées d'ordre supérieur à 1 : exemple
$\frac{P_{1} (x)}{(x - a) {(x^{2} + cx + d)}^{2}} = \frac{α}{(x - a)} + \frac{γ x + δ}{{(x^{2} + cx + d)}^{2}} + \frac{λ x + μ}{(x^{2} + cx + d)}, avec c^{2} - 4 d < 0$

Exercice classique

Exemple :

Calculer l'intégrale :

$J = \int_{2}^{3} \frac{x^{2} - 2}{(x^{2} + 1) (x - 1)} dx$

On doit avoir :

$\frac{x^{2} - 2}{(x^{2} + 1) (x - 1)} = \frac{ax + b}{(x^{2} + 1)} + \frac{c}{(x - 1)}$

$a$ et $b$ et $c$ étant des réels que l'on peut trouver par identification.

On obtient :

$\frac{x^{2} - 2}{(x^{2} + 1) (x - 1)} = \frac{3}{2} \times \frac{x + 1}{(x^{2} + 1)} - \frac{1}{2 (x - 1)}$

Donc :

$J_{2} = \int_{2}^{3} \frac{x^{2} - 2}{(x^{2} + 1) (x - 1)} dx = \frac{3}{2} \int_{2}^{3} \frac{x + 1}{(x^{2} + 1)} dx - \frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{dx}{(x - 1)}$

Donc :

$J_{2} = \frac{3}{2} \int_{2}^{3} \frac{x}{(x^{2} + 1)} dx + \frac{3}{2} \int_{2}^{3} \frac{1}{(x^{2} + 1)} dx - \frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{1}{(x - 1)} dx$

Et donc :

$J_{2} = {[\frac{3}{4} \ln (x^{2} + 1) + \frac{3}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \ln | x - 1 |]}_{2}^{3}$