Intégration par parties [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Intégration par parties

Théorème

Fondamental : Théorème

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et telles que $u'$ et $v'$ soient continues sur $I$ . Pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ , on a :

$\int_{a}^{b} u (x) v' (x) dx = {[u (x) v (x)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u' (x) v (x) dx$

$u$ et $v$ étant dérivables sur $I$ , la fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et $(uv)' = u' v + uv'$

$u'$ et $v'$ étant continues sur $I$ , les fonctions $u' v$ et $uv'$ et par suite la fonction $(uv)'$ sont continues sur $I$ , on peut donc intégrer chaque membre de cette égalité entre $a$ et $b$ .

On écrit $uv' = (uv)' - u' v$

Donc $\int_{a}^{b} u (x) v' (x) dx = \int_{a}^{b} (uv)' (x) dx - \int_{a}^{b} u' (x) v (x) dx$

et donc

$\int_{a}^{b} u (x) v' (x) dx = {[u (x) v (x)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u' (x) v (x) dx$

car $uv$ est une primitive de $(uv)'$

Exemple

Exemple :

Calculer $I_{1} = \int_{0}^{1} x e^{x} dx$ ; $I_{2} = \int_{1}^{x} \ln t dt$ avec ( $x > 0$ )

Calcul de $I_{1}$ : on pose $u (x) = x$ et $v' (x) = e^{x}$ ,
on obtient $u' (x) = 1$ et $v (x) = e^{x}$
donc $I_{1} = \int_{0}^{1} x e^{x} dx = {[x e^{x}]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} dx$
donc $I_{1} = e - {[e^{x}]}_{0}^{1}$
enfin $I_{1} = e - (e - 1) = 1$
Calcul de $I_{2}$ : pour tout $t > 0$ , on pose $u (t) = \ln t$ et $v' (t) = 1$ ,
on obtient $u' (t) = \frac{1}{t}$ et $v (t) = t$
donc $I_{2} = \int_{1}^{x} \ln t dt = {[t \ln t]}_{1}^{x} - \int_{1}^{x} dt$
donc $I_{2} = x \ln x - {[t]}_{1}^{x}$
enfin $I_{2} = x \ln x - x + 1$