ANALYSE - Concours B des ENSA

On se propose de calculer d'une nouvelle façon l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(2t-1)}^2\mathit{dt}$

Si l'on pose $x=2t-1$

On obtient : $\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}=2$, et donc : $\mathit{dt}=\frac{1}{2}\mathit{dx}$

Pour $t=0$, on a : $x=-1$, et pour $t=1$, on a : $x=1$

La fonction $\phi \mathrm{:}t\to 2t-1$ continue et strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\mathrm{;}1\right]$ réalise une bijection de $\left[0\mathrm{;}1\right]$ sur $\left[-1\mathrm{;}1\right]$

$I$ devient :

$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(2t-1)}^2\mathit{dt}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^2\times \frac{1}{2}\mathit{dx}=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^2\mathit{dx}$

Enfin, on obtient :

$I=\frac{1}{2}{\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_{-1}^1=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$

On admet le résultat :

Exemple : on veut calculer $J=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{1+\sqrt{t}}\mathit{dt}$

On pose $x=\phi (t)=\sqrt{t}$

On obtient : $\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}=\frac{1}{2\sqrt{t}}$

Ce qui peut s'écrire $\mathit{dt}=2\sqrt{t}\mathit{dx}$, ou encore $\mathit{dt}=2x\mathit{dx}$car $x=\sqrt{t}$

Pour $t=0$, on a : $x=1$, et pour $t=4$, on a : $x=2$, la fonction $t\to \sqrt{t}$ étant continue et strictement croissante sur l'intervalle $\left[1\mathrm{;}4\right]$, $\phi$ réalise une bijection de $\left[1\mathrm{;}4\right]$ sur $\left[1\mathrm{;}2\right]$

$J$ devient :

$J=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{1+\sqrt{t}}\mathit{dt}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{1+x}\times 2x\mathit{dx}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2x}{1+x}\mathit{dx}$

En remarquant que $\frac{2x}{1+x}=2-\frac{2}{1+x}$, on obtient :

$J=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2-\frac{2}{1+x}\right)\mathit{dx}={[2x-2\ln (1+x)]}_1^2=4-2\ln 3-(2-2\ln 2)=2(1-\ln 3+\ln 2)$

On admet le résultat :