Compléments

FondamentalPropriété

Le théorème de changement de variable pour calculer les intégrales ou la méthode d'intégration par parties, subsistent pour les intégrales généralisées sous réserve d'existence de chacun des termes intervenants dans le calcul.

Par exemple, soit à calculer I = ∫ 0 + ∞ x e − x dx I=int from 0 to {+infinity} x e^-x dx dont on sait qu'elle existe. On intègre par parties, en posant

{ u = x du = dx dv = e − x dx v = − e − x left lbrace matrix{u=x # du = dx ##~#~ ##dv=e^-x dx # v=-e^-x } right none

Alors

I = [ − x e − x ] 0 + ∞ + ∫ 0 + ∞ e − x dx I= left[ -x e^-x right ]_0^{+infinity} + int from 0 to {+infinity} e^-x dx

Le terme tout intégré (entre crochets) vaut 0 0 car x e − x x e^-x est nul pour x = 0 x = 0 et tend vers 0 0 quand x x tend vers l'infini. Quant à l'intégrale ∫ 0 + ∞ e − x dx int from 0 to {+infinity} e^-x dx on sait qu'elle vaut  1 1 donc finalement I = 1 I=1 .