Définition [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Définition

Introduction

Nous n'avons utilisé, jusqu'ici que des intégrales du type $\int_{a}^{b} f (x) dx$ , où $f$ est intégrable au sens de Riemann, donc bornée sur $[a; b]$ . Abordons maintenant les deux situations suivantes, dans lesquelles on parle d'intégrales généralisées d'une fonction $f$ :

Quand on intègre sur un intervalle $[a; b]$ avec $f (x)$ qui tend vers $\pm \infty$ quand $x$ tend vers $a^{+}$ (c.a.d. $x$ tend vers $a$ en restant supérieur à $a$ ) ou quand $x$ tend vers $b^{-}$ (notion symétrique) ou bien même quand $f (x)$ n'a pas de limite.
Par exemple $\frac{1}{x}$ sur $[0; 1]$ , $\frac{1}{\sqrt{x}}$ sur $[0; 1]$ , $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ sur $[2; 3]$ , $\sin \frac{1}{x}$ sur $[0; 1]$ .
ou bien quand on intègre sur un intervalle non borné du type $[a; + \infty [$ , $] - \infty; b]$ ou $] - \infty; + \infty [$ .
Par exemple $\frac{1}{x^{2}}$ sur $[1; + \infty [$ , $e^{- x^{2}}$ sur $] - \infty; + \infty [$ .

Pour simplifier la présentation, on se place systématiquement sur $[0; 1]$ , ou sur $[0; + \infty [$ , les adaptations à des intervalles différents mais du même type se font aisément.

Définition

On dit que la fonction $f$ n'ayant pas de limite en $0$ est intégrable sur $[0; 1]$ ou que l'intégrale généralisée converge en $0$ ou encore que la fonction est intégrable au voisinage de $0$ si et seulement si
$\lim_{α \to 0^{+}} \int_{α}^{1} f (x) dx$ existe et est finie
et on pose
$\int_{0}^{1} f (x) dx = \lim_{α \to 0^{+}} \int_{α}^{1} f (x) dx$
On dit que la fonction $f$ est intégrable sur $[0; + \infty [$ ou que l'intégrale généralisée converge en $+ \infty$ ou encore que la fonction est intégrable au voisinage de $+ \infty$ si et seulement si
$\lim_{X \to + \infty} \int_{0}^{X} f (x) dx$ existe et est finie
et on pose
$\int_{0}^{+ \infty} f (x) dx = \lim_{X \to + \infty} \int_{0}^{X} f (x) dx$
Lorsqu'une intégrale généralisée ne converge pas, on dit aussi qu'elle diverge.

Remarque :

Si l'on veut étudier l'intégrabilité de $\frac{1}{x}$ sur $[0; + \infty [$ on a deux problèmes de convergence : en $0$ puisque $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$ et en $+ \infty$ . On découpe l'intégrale en deux et on étudie séparément la convergence de $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$ et de $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x} dx$ la valeur intermédiaire $1$ étant arbitraire et n'ayant aucune influence sur la convergence de chaque morceau.

Exemples

Exemple :

$e^{- x}$ est intégrable sur $[0; + \infty [$

En effet $\int_{0}^{X} e^{- x} dx = {[- e^{- x}]}_{0}^{X} = - e^{- X} + 1$ et $\lim_{X \to + \infty} (- e^{- X} + 1) = 1$

Donc

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} dx = 1$

Exemple :

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ converge

On a : $\int_{α}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = {[2 \sqrt{x}]}_{α}^{1} = 2 - 2 \sqrt{α}$ et $\lim_{α \to 0} (2 - 2 \sqrt{α}) = 2$

Donc

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2$

Exemple :

$\frac{1}{x^{a}}$ est intégrable au voisinage de $0$ pour $a < 1$

Pour $a \neq 1$ une primitive de $x^{- a}$ est $\frac{x^{- a + 1}}{- a + 1} = \frac{1}{(1 - a) x^{1 - a}}$ on a donc

$\int_{ϵ}^{1} \frac{1}{x^{a}} dx = \frac{1}{(1 - a)} {[\frac{1}{x^{a - 1}}]}_{ϵ}^{1} = \frac{1}{(1 - a)} [1 - \frac{1}{ϵ^{a - 1}}]$

Si $a > 1$ on a $a - 1 > 0$ et donc $\frac{1}{ϵ^{a - 1}} \to + \infty$ quand $ϵ \to 0^{+}$ et l'intégrale diverge.
Pour $a = 1$ on a $\int_{ϵ}^{1} \frac{1}{x} dx = {[\ln x]}_{ϵ}^{1} = 1 - \ln ϵ \to + \infty$ quand $ϵ \to 0^{+}$ .
Si $a < 1$ on a $a - 1 < 0$ et $\frac{1}{ϵ^{a - 1}} \to 0$ quand $ϵ \to 0^{+}$ et l'intégrale converge et vaut

$\int_{ϵ}^{1} \frac{1}{x^{a}} dx = \frac{1}{(1 - a)} pour a < 1$

Sur $[1; + \infty [$ le calcul est le même avec $ε$ remplacé par $X$ avec $X$ qui tend vers l'infini, ce qui inverse les cas de convergence. Calcul à faire à titre d'exercice.

Commentaires

Remarque :

D'après ce que l'on vient de voir $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ converge alors que $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$ diverge. Dans les deux cas la fonction que l'on intègre tend vers l'infini quand $x$ tend vers $0$ . Mais $\frac{1}{x}$ tend trop vite vers l'infini pour que l'intégrale converge. Ceci prend tout son sens si l'on se souvient que l'intégrale mesure (la fonction étant positive) l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des $x$ . La fonction $\frac{1}{\sqrt{x}}$ tend assez lentement vers l'infini pour que l'aire soit finie, même si une branche est infinie, alors que c'est faux pour $\frac{1}{x}$ .

La façon de tendre vers l'infini est donc ce qui importe pour la convergence de l'intégrale.