Chauffage d'une plaque d'épaisseur "semi-infinie"

Considérons un corps solide occupant l'espace entre x = 0 et x = ∞ initialement à la température θb.

Au temps t = 0, la surface (x = 0) est soudainement portée à la température θa qui est maintenue constante pour t > 0.

On se propose de déterminer le profil de température dans le matériau au cours du temps, θ(x,t).

On utilise les coordonnées cartésiennes à 1 dimension. L'équation : δ θ δ t {%delta%theta} over {%delta t} = α ( δ 2 θ δ x 2 + δ 2 θ δ y 2 + δ 2 θ δ z 2 ) %alpha ({%delta^2%theta} over {%delta x^2} + {%delta^2%theta} over {%delta y^2} + {%delta^2%theta} over {%delta z^2}) devient :

δ θ δ t {%delta%theta} over {%delta t} = α ( δ 2 θ δ x 2 ) %alpha ({%delta^2%theta} over {%delta x^2}) ....................................................(équation 69)

Avec les conditions limites adaptées à ce problème, la solution est alors :

θ − θ b θ a − θ b = 1 − erf x ( 4 α t ) {%theta - %theta_b} over {%theta_a - %theta_b} = 1 - erf {x over sqrt(4 %alpha t)} .................................(équation 70)

ComplémentDémonstration