Introduction [Conduction dans les solides]

Introduction

Dans ce chapitre, nous allons présenter la conduction dans les solides en régime transitoire, sans génération de chaleur.

Rappelons l'équation générale de bilan de conservation de l'énergie thermique :

- div $\vec{q}$ ± P = ρ C_p $\frac{δ θ}{δ t}$ .............................................(équation 26)

et considérons le cas où il n'y a pas de génération de chaleur.

L'équation devient alors :

- div $\vec{q}$ = ρ C_p $\frac{δ θ}{δ t}$ .....................................................(équation 64)

soit, dans le système de coordonnées cartésiennes à 3 dimensions, si on suppose la conductivité thermique indépendante de la température :

ρ C_p $\frac{δ θ}{δ t}$ = $λ (\frac{δ^{2} θ}{δ x^{2}} + \frac{δ^{2} θ}{δ y^{2}} + \frac{δ^{2} θ}{δ z^{2}})$ ..........................(équation 65)

En introduisant la diffusivité thermique, $α = \frac{λ}{ϱ C_{p}}$ , cette équation peut encore s'écrire :

$\frac{δ θ}{δ t}$ = $α (\frac{δ^{2} θ}{δ x^{2}} + \frac{δ^{2} θ}{δ y^{2}} + \frac{δ^{2} θ}{δ z^{2}})$ ............................................(équation 66)

L'équation devient, en coordonnées cylindriques à symétrie axiale :

$\frac{δ θ}{δ t}$ = $α [\frac{1}{r} \frac{δ}{δ r} (r \frac{δ θ}{δ r}) + \frac{δ^{2} θ}{δ z^{2}}]$ ..........................................(équation 67)

et en coordonnées sphériques à symétrie centrale :

$\frac{δ θ}{δ t}$ = $α [\frac{1}{r^{2}} \frac{δ}{δ r} (r^{2} \frac{δ θ}{δ r})]$ .......................................(équation 68)

Dans ce qui suit, nous allons étendre ces équations à des cas simplifiés plans, cylindriques ou sphériques.