AN20
Question
On note \(E\) l'espace vectoriel des applications bornées de \(X\) dans \(\mathbb{C}\), \(X\) désignant un ensemble non vide quelconque.
On pose, pour tout \(f\) de \(E\), \(\Vert f\Vert_{\infty}=\sup\limits_{x\in X}|f(x)|\).
Démontrez succinctement que l'application \(f\mapsto \Vert f\Vert_{\infty}\) est une norme sur \(E\).
Soit \((g_n)\) une suite d'applications de \(X\) dans \(\mathbb{C}\), \(X\) désignant un ensemble non vide quelconque. On suppose que, pour tout \(n\in \mathbb{N}\), \(g_n\) est bornée et que la suite \((g_n)\) converge uniformément sur \(X\) vers \(g\).
Démontrez que l'application \(g\) est bornée.