Lois de probabilités continues [Probabilités

Lois de probabilités continues

Définition : 2.5.4 Loi uniforme

Une variable aléatoire, continue, $X$ est dite uniformément distribuée sur l'intervalle $[a; b]$ si sa densité de probabilité $f$ est déﬁnie par :

${\begin{matrix} f (x) & = & 0 & si & x & < & a & ou & x & > & b \\ f (x) & = & \frac{1}{b - a} & si & a & \leq & x & \leq & b \end{matrix}$

Remarque : 2.5.1

On emploie souvent la fonction indicatrice, notée $1_{[a;b]}$ , pour donner directement avec la densité l'ensemble de déﬁnition de la v.a.r. Ici, on obtient :

$f(x)=\frac{1}{b-a}\times1_{[a ;b]}$.

Avec cette densité, on peut calculer la fonction de répartition de la loi uniforme sur $[a; b]$. On obtient :

$F (x) = {\begin{matrix} 0 & si & x & \leq & a & , \\ \frac{x - a}{b - a} & si & x & \in & [a; b] & , \\ 1 & si & x & \geq & b & . \end{matrix}$

Pour une v.a.r. $X$ suivant une loi uniforme sur $[a; b]$, on a :

$E(X)=\frac{a+b}{2}$

$V(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$.

Exemple : 2.5.1

On suppose que la v.a.r. $X$ est uniformément distribuée sur $[0; 1]$. On pose $Y=|X-\frac{1}{2}|$

On peut voir sur la ﬁgure que la fonction n'est pas bijective sur $[0; 1]$. Par contre, elle l'est sur $[0; \frac{1}{2}]$ et sur $[\frac{1}{2}; 1]$. Appliquons alors la formule dans ces deux intervalles et appelons $g_1$

le premier changement de variable (dans le premier intervalle) et $g_2$ le second changement de variable (dans le second intervalle).

On obtient :

$\begin{matrix} g_{1} : & [0; \frac{1}{2}] & \to & [0; \frac{1}{2}] \\ X & \to & | X - \frac{1}{2} | & = & - X + \frac{1}{2} \end{matrix}$

$g_1$ est bijective et :

$\begin{matrix} {(g_{1})}^{- 1} : & [0; \frac{1}{2}] & \to & [0; \frac{1}{2}] \\ Y & \to & X & = & - Y + \frac{1}{2} \end{matrix}$

On a alors $(g_1^{-1})'(y)=-1$. On sait aussi que la densité d'une loi uniforme sur $[0; 1]$ est égale à $1_{[0;1]}(x)$ et donc, en particulier, vaut 1 sur $[0; 1]$. Appliquons alors la formule du transfert, on obtient, pour $y \in [0; \frac{1}{2}]$ :

$f_1(y)=1\times\vert-1\vert$

$f_1(y)=1$

On vériﬁe de même que la fonction $g_2$ est une bijection de $[\frac{1}{2}; 1]$ dans $[0;\frac{1}{2}]$.

Et donc on a, pour $y \in [0; \frac{1}{2}]$ :

$f_2(y)=1$.

Finalement, on obtient la densité de $Y$ en faisant la somme sur chaque intervalle, on a :

$f_Y (y) = f_1 (y) \times 1_{[0; \frac{1}{2}]} (y) + f_2 (y) \times 1_{[0; \frac{1}{2}]} (y)$ ,

$=1\times1_{[0; \frac{1}{2}]}(y)+1\times1_{[0; \frac{1}{2}]}(y)$,

$f_Y (y) = 2\times1_{[0; \frac{1}{2}]}(y)$,

qui est la densité d'une loi uniforme sur $[0; \frac{1}{2}]$.

Définition : 2.5.5 Loi exponentielle

$\lambda$ étant un réel strictement positif, une variable aléatoire, continue, $X$ suit une loi dite exponentielle et de paramètre $\lambda$ si sa densité de probabilité $f$ est déﬁnie par :

${\begin{matrix} f (x) & = & 0 & si & x & < & 0 \\ f (x) & = & λ e^{- λ x} & si & 0 & \leq & x \end{matrix}$

Avec cette loi, on modélise, en général, la durée de vie d'un matériel technique ou le rayonnement d'une particule radioactive.

Avec cette densité, on peut calculer la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On obtient :

$F (x) = {\begin{matrix} 0 & si & x & \leq & 0 & , \\ 1 & - & e^{- λ x} & si & x & \geq & 0 & . \end{matrix}$

Pour une v.a.r. $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on a

$E(X)=\frac{1}{\lambda}$,

$V(X)=\frac{1}{\lambda^2}$.

Loi normale

La loi normale ou loi de Laplace-Gauss est une loi de variable continue. C'est la loi la plus utilisée, en particulier pour mesurer la dispersion autour d'une valeur. De nombreuses variables aléatoires liées à l'humain suivent des lois normales ou peuvent être approchées par des lois normales (taille, poids, notes à un concours...).

Définition : 2.5.6

Une variable aléatoire, continue, $X$ suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$ ($\sigma > 0$), que l'on note $N (\mu, \sigma)$ si et seulement si sa densité de probabilité $f$ est déﬁnie par :

$f(t)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^2}$

Dans ce cas : $E(X) = \mu$ et $V (X) = \sigma^2$

On admet :

$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^2}dt=1$

D'après la déﬁnition de la fonction de répartition, on obtient :

$F(a)=P(X<a)=\int_{-\infty}^{a}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^2}dt$

Cette intégrale n'est pas calculable, on aura donc recours à l'utilisation d'une table.

Un cas particulier important :

La loi normale centrée réduite (centrée car sa moyenne est 0 et réduite car son écart type est égal à 1) on appelle ainsi la loi normale $N (0, 1)$ . Dans ce cas la fonction densité de probabilité est déﬁnie par :

$f (t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- t^{2}}{2}}$

Il s'agit d'une fonction paire dont la représentation est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et a pour asymptote l'axe des abscisses.

La fonction de répartition de cette variable aléatoire, souvent dénommée $T$ , se note en général $\Pi$:

$\Pi(a)=P(T<a)=\int_{-\infty}^{a}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$

Pour calculer la probabilité d'un événement concernant la variable centrée réduite, on utilise en général la table (voir Annexe) et les propriétés de symétrie de la courbe.

Exemple : Exemples d'utilisation de la table :

$P (T \leq 1, 25) = \Pi(1, 25) = 0, 8944$

$P (T \geq 1, 25) = 1 - P (T < 1, 25) = 1 - \Pi(1, 25) = 1 - 0, 8944 = 0, 1056$

$P (T \leq -1, 25) = \Pi(-1, 25) = 1 - \Pi(1, 25) = 1 - 0, 8944 = 0, 1056$

$P (1, 25 \leq T \leq 1, 67) = \Pi(1, 67) - \Pi(1, 25) = 0, 9525 - 0, 8944 = 0, 0581$

Cas particulier : soit $t > 0, P (-t \leq T \leq t) = \Pi(t) - \Pi(-t) = 2\Pi(t) - 1$

Théorème 2.5.1 :

Si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale $N (\mu, \sigma)$ , alors la variable $T=\frac{X -\mu}{\sigma}$ suit une loi normale centrée réduite.

On peut donc toujours, par un changement de variable aﬃne, se ramener au cas de la variable centrée réduite et donc utiliser la table de la loi normale centrée, réduite.