Lois de probabilité discrètes
Loi de Bernouilli
Soit une épreuve ayant deux issues \(A\) et\(\overline A\), de probabilités respectives \(p\) et \(q=1-p\). On dit que ce type d'épreuve suit un schéma de Bernouilli.
Définition : 2.5.1
La variable aléatoire \(X\) qui ne prend que deux valeurs souvent codées 1 si \(A\) est réalisé et 0 sinon, avec les probabilités respectives \(p\) et \(q=(1-p)\) suit une loi de Bernouilli de paramètre \(p\).
Sa loi de probabilité est définie comme suit :
On obtient : \(E(X)=p\) et \(V(X)=pq\).
Loi Binomiale
On répète \(n\) fois et de manière indépendante (avec remise) une telle épreuve correspondant à un schéma de Bernouilli. Considérons la variable \(X\) égale au nombre de fois où \(A\) est réalisé au cours de ces \(n\) épreuves.
On a : \(X(\Omega)=\{0, 1, 2, ..., n\}\).
La loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) est appelée loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) et se note : \(B(n; p)\).
Définition : 2.5.2
La loi de probabilité de la v.a.r. \(X\), binomiale de paramètre \((n, p)\) est définie ainsi :
\(\forall k\in\{0, 1, 2, ..., n\}\), \(P(X=k)=C^k_np^k (1-p)^{n−k}\)
Dans ce cas : \(E(X)=np\) et \(V(X)=npq\).
Loi des fréquences
Lorsque \(X\) suit une loi binomiale de paramètre \(n\) et \(p\), il est parfois intéressant d'utiliser la \(X\) variable aléatoire \(F=\frac{X}{n}\) dont les valeurs prises sont les fréquences de succès au cours de \(n\) épreuves. On obtient alors :
\(E(\frac{X}{n})=p\) et \(V(F)=\frac{pq}{n}\)
Définition : 2.5.3 Loi de Poisson
Une variable aléatoire suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\) , notée \(P(\lambda)\), si et seulement si : \(X(\Omega)=\mathbb N\) et
\(\forall k\in N, P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k !}\)
Dans ce cas : \(E(X)=V(X)=\lambda\)
Nous verrons que cette loi apparaît comme loi limite d'une loi binomiale. Elle est prise comme modèle dans certaines situations. Par exemple : le nombre d'appels reçus à un standard téléphonique pendant une période donnée, le nombre de pièces défectueuses dans un lot donné, le nombre de clients attendant à un guichet, le nombre d'œufs au printemps pour une colonie d'oiseaux ...