Fonction de répartition

Définition2.1.2

On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\) la fonction numérique \(F\), définie pour tout réel \(x\) par : \(F(x)=P(X < x)=P(X^{−1}(]−\infty,x[))\)

Remarque

\((X^{−1}(]−\infty, x[))\) est l'ensemble des éléments de \(\Omega\) dont l'image par \(X\) appartient à \(]−\infty, x[))\)

Exemple

A partir de l'exemple précédent (2.1.1) : recherchons la fonction de répartition de la variable \(X\). On obtient :

La fonction de répartition est une fonction en escalier définie ainsi :

- Si \(x\leq-2\) alors F ( x ) = P ( X ← 2 ) = 0 F(x)=P(X<-2)=0

- Si \(x\in]-2 ;-1]\) alors F ( x ) = P ( X ← 1 ) = 1 6 F(x)=P(X<-1)={1}over{6}

- Si \(x\in]-1 ;3]\) alors F ( x ) = P ( X < 3 ) = 1 6 + 1 2 = 4 6 = 2 3 F(x)=P(X<3)={1}over{6}+{1}over{2}={4}over{6}={2}over{3}

- SI \(x>3\) alors F ( x ) = P ( X < x ) = 1 F(x)=P(X<x)=1

Propriété 2.1.2

Toute fonction de répartition \(F\) d'une variable aléatoire vérifie :

1.\( F\) est croissante sur \(\mathbb R\),

2. \(F\) est continue à gauche,

3. lim x → + ∞ F ( x ) = 1 lim from {x toward +%infinite}F(x)=1 et lim x → − ∞ F ( x ) = 0 lim from {x toward -%infinite}F(x)=0

4. \(\forall(a, b)\in{\mathbb R}^2, P (a\leq X<b)=F(b)-F(a)\),

5. \(P(X=x)=F(x^+)-F(x)\), en particulier on obtient 0 aux points où \(F\) est continue.