Définition d'une variable aléatoire
Définition :
Dans le cas discret, une variable aléatoire \(X\) est une application de \(\Omega\) dans \(R\) qui associe à chaque événement d'une expérience aléatoire les réels \(x_1\), \(x_2\),..., \(x_n\) avec les probabilités \(p_1\), \(p_2\), ..., \(p_n\) .
Exemple : 2.1.1
On lance un dé bien équilibré à 6 faces. \(\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Sur cet univers, il y a équiprobabilité. On effectue le jeu suivant : en lançant le dé, si le joueur obtient un nombre divisible par 3, il gagne 3 Euros, s'il obtient un nombre pair strictement inférieur à 4, il perd 2 Euros, dans les autres cas il perd 1 Euro. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au gain obtenu.
– A l'apparition des chiffres 3 ou 6, la variable \(X\) associe le nombre 3, avec une probabilité égale à \(\frac{1}{3}\)
– A l'apparition du chiffre 2, la variable \(X\) associe le nombre −2, avec une probabilité égale à \(\frac{1}{6}\)
– A l'apparition des chiffres 1, 4 ou 5, la variable \(X\) associe le nombre −1, avec une probabilité égale à \(\frac{1}{2}\)
Définition : 2.1.1
Soit \(\Omega\) un univers muni d'une probabilité \(P\). Une variable aléatoire réelle (v.a.r.) est une application \(X : \Omega \rightarrow \mathbb R\) qui permet de définir une nouvelle probabilité \(P_X\) sur \(R\), appelée probabilité image de \(P\) par \(X\).
Cette nouvelle probabilité est entièrement déterminée par l'égalité suivante
\(P_x(]-\infty ;t[)=P(X^{-1}]-\infty ;t[)\).
\(X(\Omega)\) est l'ensemble des images des éléments de \(\Omega\) par \(X\), c'est à dire l'ensemble des valeurs prises par \(X\).
– Si \(X(\Omega)\) est fini ou infini dénombrable, (ce qui est le cas si \(X(\Omega)\subset\mathbb {N}\), cas très fréquent) la variable \(X\) est discrète.
– Si \(X(\Omega)\) est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de \(\mathbb{R}\), la variable est continue.
Propriété 2.1.1
Soit \(X\) et \(Y\) deux v.a.r. définies sur un même univers \(\Omega\) et \(\lambda\) un réel. On a les propriétés suivantes
1. \(\lambda X\) est une v.a.r.,
2. \(X+Y\) est une v.a.r.,
3. \(X\).\(Y\) est une v.a.r.
Ces trois propriétés montrent que l'ensemble des v.a.r. constitue une \(\mathbb{R}\)-algèbre. En clair, ceci signifie qu'on va pouvoir faire avec les v.a.r. les calculs algébriques qu'on a l'habitude de faire avec les nombres réels