Exercice 19a - approximation d'une loi binomiale par une loi Normale

Un camping comporte 120 places pour tentes. Le gérant arrive à placer 150 tentes.

Les emplacements sont retenus à l'avance. La probabilité pour qu'un emplacement retenu soit occupé est 0, 85.

Question

1. Déterminer le nombre maximum de réservations que doit accepter le gérant pour loger tout le monde avec une probabilité supérieure à 0, 95.

Solution

Appelons \(n\) le nombre de réservations, \(X_n\) la variable aléatoire égale au nombre effectif de clients sur n réservations. Cette variable suit une loi binomiale de paramètres \((n; \frac {85}{100} )\)

Il faut déterminer \(n\) pour que : \(p(X_n \leq 150) \geq 0, 95\).

On peut définir la variable \(Y = \frac {X_n − E(X_n )}{\sigma(X_n )}=\frac {X_n − n \times 0, 85}{\sqrt{n \times 0, 85 \times 0, 15}}\).

\(Y\) peut être approximée par une loi normale centrée réduite.

Or

P ( X n ≤ 150 ) ≥ 0,95 ⇔ P ( Y ≤ 150 − n × 0,85 n × 0,85 × 0,15 ) ≥ 0,95 P(X_n <= 150)>=0,95 dlrarrow P(Y <={150-n times 0,85}over{sqrt {n times 0,85 times 0,15}})>=0,95

Dans la table de la loi normale, on peut lire : \(p(Y \leq 1, 645) = 0, 95\)

Le calcul donne : \(n \leq 167\)

Question

2. Sachant qu'il a retenu 140 réservations, calculer la probabilité pour que le seuil de confort de 120 places ne soit pas dépassé.

Solution

Maintenant on sait que \(n = 140\), il faut déterminer :

\(P (X_{140} \leq 120) = P \Bigg(Y ≤ \frac {120 − 140 \times 0, 85}{\sqrt{140 \times 0, 85 \times 0, 15}} \Bigg) = P (Y < 0, 237) = 0, 593\)