Exercice 18a - Inégalité de Bienaymé Tchebicheff
Au jeu de ”pile ou face”, lorsque la pièce n'est pas truquée, la probabilité d'obtenir ”pile” après un lancer est égale à \(\frac {1}{2}\).
Question
Combien faut il faire de lancers (indépendants) pour que la fréquence d'apparition de ”pile” ne s'écarte pas de plus de 0,05 de \(\frac {1}{2}\) avec 1% d'erreur ?
Solution
Soit \(X_n\) la variable aléatoire égale au nombre de ”pile” obtenus pour \(n\) lancers.
\(X_n\) suit une loi binomiale de paramètres \((n, \frac {1}{2} )\)
On considère \(Y = \frac {X_n}{n}\), Y est la fréquence de succès au cours de \(n\) épreuves. On a :
\(E(Y ) =\frac {1}{2}\) et \(V (Y ) = \frac {\frac{n}{4}}{n^2}=\frac{1}{4n}\)
On cherche \(n\) pour que :
\(P (\vert Y − 0, 5\vert > 0, 05) \leq 0, 01\)
Pour avoir une estimation de \(n\), on peut appliquer l'inégalité de Bienaymé Tchebycheff :
\(P (\vert Y − E(Y )\vert > t) \leq \frac {V(Y)}{t^2}\)
Il suffit d'avoir : \(\frac {\frac {1}{4n}}{0,0025} \leq 0, 01\) soit \(n \geq 10000\)