Exercice 18b - Inégalité de Bienaymé Tchebicheff
Soit \(a \)un réel positif. La longévité d'une abeille dans une ruche est une v.a.r \(X \)définie par la densité :
\(f (t) = a^2 te^{−at}\) pour \(t \ge 0\)
Question
1. Vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité.
Indice
On vérifie que \(f\) est une fonction définie sur \(\mathbb R\), positive, continue sur \(\mathbb R\) et telle que :
\(\int^{+\infty}_{-\infty}f (t)dt = 1\)
Question
2. On suppose \(E(X) = 20\), calculer \(a \), puis calculer \(V (X)\).
Indice
On trouve : \(V (X) = 200\)
Question
3. (Hors programme) On appelle \(Z\) la longévité moyenne de 2000 abeilles , en utilisant le théorème de Bienaymé Tchebycheff, trouver \(t\) tel que :
\(P (\vert Z − 20\vert \geq t) \leq 0, 01\)
Indice
On vérifie que la durée de vie de la ruche se situe entre 17 jours et 23 jours avec une probabilité supérieure à 0,99