Espérance mathématique, variance et écart-type
L'espérance mathématique joue le même rôle que la moyenne en statistique, elle est, en quelque sorte, la ”moyenne espérée ” :
Définition : 2.2.1
Par définition, on appelle espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\) le nombre :
\(E(X)=\sum_{i=1}^np_ix_i\)
Le nom et la signification de la variance \(V(X)\) et de l'écart-type \(\sigma(X)\) sont les mêmes qu'en statistique : estimer la dispersion autour de l'espérance mathématique ( La variance est la moyenne des écarts quadratiques à la moyenne - c'est à la moyenne des \((x_i − E(X))^2 -\)) :
Définition : 2.2.2
Par définition, on appelle variance de la variable aléatoire \(X\) le nombre :
\(V(X)=\sum_{i=1}^np_i(x_i-E(X))^2\)
Ce qui se simplifie par linéarité de l'espérance et donne la formule suivante :
\(V(X)=\sum_{i=1}^np_i(x_i)^2-(E(X))^2\)
Note : Regardons les unités, si \(X\) est en mètres, \(V(X)\) est en \(m^2\) , si \(X\) est en litre, \(V(X)\) est en \(litre^2\) . On souhaite un indicateur de dispersion qui ait la même unité que \(X\) : il suffit de prendre la racine carrée de la variance.
On obtient l'écart-type :
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)
Remarque : 2.2.1
Dans le cas de variables aléatoires discrètes telles que \(X(\Omega)\) soit infini dénombrable, les définitions précédentes sont les mêmes mais on somme de 1 à \(+\infty\).
Exemple :
A partir de l'exemple précédent (2.1.1), on obtient :
\(E(X)=\frac{-2}{6}-\frac{1}{2}+\frac{3}{3}=\frac{1}{6}\)
et
\(V(X)=\frac{4}{6}+\frac{1}{2}+\frac{9}{3}-(\frac{1}{6})^2=\frac{149}{36}\)