Probabilités - Concours B des ENSA

Soit une v.a.r. \(X\) et une fonction \(g\) : \(\mathbb R \rightarrow \mathbb R\), nous cherchons à déterminer la loi de \(Y=g(X)\).

Dans ce cas, la loi de probabilité de \(Y\) se déduit, en général, aisément de celle de \(X\). Pour le calcul de l'espérance mathématique de \(Y\) , on peut utiliser directement la loi de \(Y\) , ou encore utiliser le théorème suivant :

Soit \(X\) une v.a.r., \(g\) une fonction de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) et \(Y=g(X)\).

- Si \(X(\Omega)\) est fini, alors \(Y\) admet une espérance mathématique définie par :

\(E(Y)=\sum_{i=1}^ng(x_i)\times P(X=x_i)\)

- Si \(X(\Omega)\) est infini dénombrable et si la série de terme général \(g(x_n)×P(X=x_n)\) converge, alors \(Y\) admet une espérance mathématique définie par :

$E(Y)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}g(x_i)\times P(X=x_i)$

Dans ce cas, on peut déterminer la densité de probabilité de la v.a.r. \(Y\) en utilisant le théorème suivant :

Soit \(X\) une v.a.r., \(g\) une fonction bijective de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) et \(Y=g(X)\). On sait que la v.a.r. \(X\) admet une densité \(f_X\) . La densité de \(Y\) est donnée par la formule suivante :

$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\times |(g^{-1})\text{'}(y)|$

Le calcul de l'espérance mathématique de \(Y\) est alors :

\(E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}tf_Y(t)dt\)