Propriétés élémentaires des réels [ANALYSE

Propriétés élémentaires des nombres réels

$\forall x \in ℝ^{*}, x > 0 \Rightarrow \frac{1}{x} > 0$
$\forall (x, y) \in {(ℝ_{+}^{*})}^{2}, x < y \Rightarrow \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$
$\forall n \in ℕ^{*}, \forall (x, y) \in {(ℝ_{+})}^{2}, x \leq y \Leftrightarrow x^{n} \leq y^{n}$
Pour tout $n$ de $ℕ^{*}$ et tous réels $x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n}$ : $| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} | \leq \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |$
Pour tout $n$ de $ℕ^{*}$ et tous réels $x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n}$ :
- $\forall i \in {1, \dots, n}, x_{i} \leq y_{i} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \leq \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$
- $\forall i \in {1, \dots, n}, 0 \leq x_{i} \leq y_{i} \Rightarrow \prod_{i = 1}^{n} x_{i} \leq \prod_{i = 1}^{n} y_{i}$
- $\forall i \in {1, \dots, n}, x_{i} \leq y_{i} et \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} \Rightarrow (\forall i \in {1, \dots, n}, x_{i} = y_{i})$

Pour tout $n$ de $ℕ^{*}$ et tous réels

$x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n}$ : ${(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i})}^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2})$