Existence et unicité de IR

Nous admettrons l'existence et l'unicité d'un ensemble ℝ setR , dont les éléments sont appelés les nombres réels, et qui est muni de deux lois internes  + "+" et x "x" , et d'une relation ≤ {}<={} , tel que

  1. ( ℝ , + , × ) (setR,+,times"")  est un corps commutatif

  2. ≤ {}<={} est une relation d'ordre total dans ℝ setR

  3. Toute partie non vide et majorée de ℝ setR admet une borne supérieure

DéfinitionEnsemble borné

Soit  E E un sous ensemble de ℝ setR . On dit que  E E est borné si et seulement si  E E est majorée et minorée

DéfinitionPlus grand élément, plus petit élément

Soit E ⊂ ℝ E subset setR

  1. On dit que  E E admet un plus grand élément  M M si et seulement si :

    M ∈ E M in E , et  M M est un majorant de E E

    On note M = Max ( E ) M = Max(E)

  2. On dit que  E E admet un plus petit élément  m m si et seulement si :

    m ∈ E m in E , et  m m est un minorant de E E

    On note m = Min ( E ) m = Min(E)

DéfinitionBorne supérieure, borne inférieure

soit E ⊂ ℝ E subset setR

  1. On appelle borne supérieure le plus petit des majorants de  E E dans ℝ setR , s'il existe. On le note Sup ( E ) {italic "Sup"}(E)

  2. On appelle borne inférieure le plus grand des minorants de  E E dans ℝ setR , s'il existe. On le note Inf ( E ) {italic "Inf"}(E)

DéfinitionIntervalle de IR

Soient  a , b a,b deux réels tels que a ≤ b a<=b

  1. On appelle intervalle fermé de ℝ setR d'extrémité  a a et  b b l'ensemble notée  [ a ; b ] left [ a nitalic ; b right ] des x ∈ ℝ x in setR tels que a ≤ x ≤ b a<=x<=b .

  2. On appelle intervalle ouvert de ℝ setR d'extrémité  a a et  b b l'ensemble noté  ] a , b [ left ] a,b right[ des x ∈ ℝ x in setR tels que a < x < b a<x<b .

  3. On appelle intervalle fermé à gauche, ouvert à droite de ℝ setR d'extrémité  a a et  b b l'ensemble noté  [ a , b [ left [ a,b right [ des x ∈ ℝ x in setR tels que a ≤ x < b a<=x<b .

  4. On appelle intervalle ouvert à gauche, fermé à droite de ℝ setR d'extémité a a et  b b l'ensemble noté ] a , b ] left]a,b right ] des x ∈ ℝ x in setR tels que a < x ≤ b a<x<=b .

  5. On appelle intervalle semi-ouvert un intervalle fermé à gauche et ouvert à droite ou un intervalle ouvert à gauche et fermé à droite.

DéfinitionVoisinage d'un point

  1. Soit a ∈ ℝ a in setR . On appelle voisinage de  a a tout sous ensemble  V V de ℝ setR qui contient un intervalle ouvert contenant a a :

    V est un voisinage de a ⇔ ∃ ( α , β ) ∈ ℝ 2 α > 0 , β > 0 / ] a − α , a + β [ ⊂ V V "est un voisinage de " a ~dlrarrow~ exists (%alpha,%beta)in setR^2 %alpha > 0 , %beta > 0 ~/~ "]" a-%alpha , a+%beta "[" subset V

  2. Soit a = ( a 1 , a 2 ) ∈ ℝ 2 a=(a_1 , a_2) ~in setR^2 . On appelle voisinage de  a a tout sous ensemble  V V de ℝ 2 setR ^{2} qui contient un sous ensemble du type ] a 1 − α 1 , a 1 + β 1 [ × ] a 2 − α 2 , a 2 + β 2 [ left ]a_1-%alpha_1 , a_1+%beta_1 right [ times left ]a_2-%alpha_2 , a_2+%beta_2 right[ où α 1 %alpha_1 , α 2 %alpha_2 , β 1 %beta_1 , β 2 %beta_2 sont 4 réels strictement positifs.

  3. Soit a = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) ∈ ℝ n a=(a_1 , a_2 , dotsaxis , a_n) ~in setR^n . On appelle voisinage de a a tout sous ensemble  V V de  ℝ n setR ^n qui contient un sous ensemble du type

    ] a 1 − α 1 , a 1 + β 1 [ × ] a 2 − α 2 , a 2 + β 2 [ ⋯ × ] a n − α n , a n + β n [ left ]a_1-%alpha_1 , a_1+%beta_1 right [ times left ] a_2-%alpha_2 , a_2+%beta_2 right [ dotsaxis times left ] a_n-%alpha_n , a_n+%beta_n right [ où α 1 , α 2 , ⋯ , α n , β 1 , β 2 , ⋯ , β n %alpha_1 , %alpha_2 , dotsaxis , %alpha_n , %beta_1 , %beta_2 , dotsaxis , %beta_n sont des réels strictement positifs.

Remarque

Dire que  V V est un voisinage du point  a a signifie en fait que les points les "plus proches'' de  a a sont dans V V .

Exemple

Nous donnons ci-dessous deux exemples correspondant aux deux premiers cas de la définition

  1. ] 2 ; 5 [ left ] 2 nitalic ; 5 right [ est un voisinage de 2,1. Il suffit en effet de prendre α = 0,05 %alpha = 0,05 et β = 1 %beta = 1 .

    ] 2 ; 5 [ left ] 2 nitalic ; 5 right [ n'est pas un voisinage de 5 car si β > 0 %beta > 0 nous avons toujours β + 5 > 5 %beta +5 > 5 .

  2. L'ensemble V = [ 1 ; 3 ] × [ 1,5 ; 2,5 ] V = left [ 1 nitalic ; 3 right ] times left [ 1,5 nitalic ; 2,5 right ] représenté ci-dessous est un voisinage du point a = ( 1,5 ; 2 ) a=(1,5 nitalic ; 2) .