Fonction composée x -> ln[u(x)] [ANALYSE

Fonction composée x -> ln[u(x)]

D'après le théorème sur la fonction dérivée d'une fonction composée, on peut écrire :

Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ . La fonction $f : x \to \ln [u (x)]$ est dérivable sur $I$ et

$f' (x) = \frac{u' (x)}{u (x)}$

La fonction $u$ étant positive sur $I$ , la fonction $f : x \to \ln [u (x)]$ a donc le même sens de variation que la fonction $u$ sur $I$ .

Soit la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f : x \to \ln [x^{2} + 2]$ ,

On a : $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 2}$

$f$ est décroissante sur $ℝ_{-}$ , croissante sur $ℝ_{+}$ et admet un minimum au point $0$ , tout comme la parabole d'équation $y = x^{2} + 2$

Pour étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son domaine de définition, on utilise le théorème sur la limite d'une fonction composée.

Soit la fonction $f$ définie sur $ℝ^{*}$ par $f : x \to \ln [\frac{x^{2}}{x^{2} + 2}]$

On pose $u (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 2}$

On a : $\lim_{x \to + \infty} u (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} + 2} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$

donc :

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{u (x) \to 1} \ln [u (x)] = \ln 1 = 0$

De même : $\lim_{x \to 0} u (x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x^{2} + 2} = 0^{+}$

et donc

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{u (x) \to 0^{+}} \ln [u (x)] = - \infty$