Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques et leurs dérivées

Fonction argument sinus hyperbolique

La fonction sh est continue et strictement croissante sur ℝ setR , elle réalise une bijection de ℝ setR sur ℝ setR Elle admet donc une fonction réciproque notée argsh, définie de la façon suivante :

Après calcul, on obtient une expression logarithmique de cette fonction, sous la forme :

argsh x = ln ( 1 + 1 + x 2 ) nitalic argsh x = ln left( 1 + sqrt {1+x^2}right )

Cette fonction est dérivable sur ℝ setR et on obtient :

( argsh ) ' ( x ) = 1 1 + x 2 (nitalic argsh)'(x)=1 over {sqrt {1+x^2}}

Fonction argument cosinus hyperbolique

De même la fonction ch est continue et strictement croissante sur ℝ + setR_{{}+{}} , elle réalise une bijection de ℝ + setR_{{}+{}} sur [ 1 ; + ∞ [ left [ 1 nitalic ; + infinity right [ . Elle admet donc une fonction réciproque notée argch, définie de la façon suivante :

{ y = argch x x ∈ ] 1 ; + ∞ [ ⇔ { x = ch y y ∈ ] 0 ; + ∞ [ left lbrace alignl matrix{ y = nitalic argch x ## ~## x in left ] 1 nitalic; +infinity right [ } right none ~dlrarrow~ left lbrace alignl matrix{ x = nitalic ch y ## ~## y in left ]0 nitalic; +infinity right [ } right none

Après calcul, on obtient une expression logarithmique de cette fonction, sous la forme :

argch x = ln ( 1 + x 2 − 1 ) , avec x ≥ 1 nitalic argch x = ln left( 1 + sqrt {x^2-1}right ) " , avec " x>=1

Cette fonction est dérivable sur son domaine de définition [ 1 ; + ∞ [ left [ 1 nitalic ; + infinity right [ et on obtient :

( argch ) ' ( x ) = 1 x 2 − 1 (nitalic argch)'(x)=1 over {sqrt {x^2-1}}

Fonction argument tangente hyperbolique

De même la fonction th est continue et strictement croissante sur ℝ setR , elle réalise une bijection de ℝ setR sur ] − 1 ; 1 [ left ] -1 nitalic ; 1 right [ . Elle admet donc une fonction réciproque notée argth, définie de la façon suivante :

{ y = argth x x ∈ ] − 1 ; 1 [ ⇔ { x = th y y ∈ ] − ∞ ; + ∞ [ left lbrace alignl matrix{ y = nitalic argth x ## ~## x in left ] -1 nitalic ; 1 right [ } right none ~dlrarrow~ left lbrace alignl matrix{ x = nitalic th y ## ~## y in left ] -infinity nitalic ; +infinity right [ } right none

Après calcul, on obtient une expression logarithmique de cette fonction, sous la forme :

argth x = 1 2 ln 1 + x 1 − x , avec − 1 < x < 1 nitalic argth x = 1 over 2 ln { {1+x}over{1-x} } " , avec " -1<x<1

Cette fonction est dérivable sur son domaine de définition ] − 1 ; 1 [ left ] -1 nitalic ; 1 right [ et on obtient :

( argth ) ' ( x ) = 1 1 − x 2 (nitalic argth)'(x)=1 over {1-x^2}