Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques et leurs dérivées [ANALYSE

Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques et leurs dérivées

Fonction arcsinus

La fonction sin est continue et strictement croissante sur $] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ , elle réalise une bijection de $] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ sur $[- 1; 1]$ . Elle admet donc une fonction réciproque notée arcsin, définie de la façon suivante :

${\begin{matrix} y = \arcsin x \\ x \in [- 1; 1] \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \sin y \\ y \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] \end{matrix}$

Sa dérivée se calcule en utilisant la formule de dérivation de la fonction réciproque d'une fonction bijective :

$(f^{- 1})' = \frac{1}{f' \circ f^{- 1}}$

On obtient :

$(\arcsin)' (x) = \frac{1}{\cos [\arcsin x]}$

avec $x \neq 1$ et $x \neq - 1$

$\cos^{2} [\arcsin x] = 1 - \sin^{2} [\arcsin x] = 1 - x^{2}$

avec $1 - x^{2} > 0$

Finalement, la fonction arcsin est dérivable sur $] - 1; 1 [$ et

$(\arcsin)' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Fonction arccosinus

La fonction cos est continue et strictement décroissante sur $[0; π]$ , elle réalise une bijection de $[0; π]$ sur $[- 1; 1]$ . Elle admet donc une fonction réciproque notée arccos, définie de la façon suivante :

${\begin{matrix} y = \arccos x \\ x \in [- 1; 1] \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \cos y \\ y \in [0; π] \end{matrix}$

La fonction arccos est dérivable sur $] - 1; 1 [$ et

$(\arccos)' (x) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Fonction arctangente

La fonction tan est continue et strictement croissante sur $] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ , elle réalise une bijection de $] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ sur $ℝ$ . Elle admet donc une fonction réciproque notée arctan, définie de la façon suivante :

${\begin{matrix} y = \arctan x \\ x \in ℝ \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \tan y \\ y \in] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [ \end{matrix}$

La fonction arctan est dérivable sur $ℝ$ et

$(\arctan)' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$