AN32
Question
Soit \(\left( a_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) une suite complexe telle que la suite \(\left( \dfrac{\left\vert a_{n+1}\right\vert }{\left\vert a_{n}\right\vert }\right) _{n\in \mathbb{N}}\) admet une limite.
Démontrez que les séries entières \(\displaystyle\sum a_{n}x^{n}\) et \(\displaystyle\sum na_{n}x^{n-1}\) ont le même rayon de convergence.
On le note \(R\).
Démontrez que la fonction \(x\longmapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\) est dérivable sur l'intervalle \(]-R,R[\).