AN02
Question
On considère dans \(\mathbb{R}\) les deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par :
\[\displaystyle
u_n=\sum_{i=0}^n\frac{1}{i!}\text{\hspace*{1cm}et\hspace*{1cm}}v_n=u_n+\frac{1}{n!}\ .
\]
Démontrez que ces deux suites sont adjacentes.
On admet que \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} u_n=e\). Démontrez que \(e\) est irrationnel.
Indication : on pourra raisonner par l'absurde et supposer que \(e=\dfrac{p}{q}\) où \(p\) et \(q\) sont deux entiers naturels.