OUTILS MATHÉMATIQUES DU COURS       MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DÉFORMABLES  O. Thual, séminaire pour les enseignants CPGE (1996)

Introduction

• La Mécanique des milieux continus est une matière de base pour beaucoup d'écoles d'ingénieurs, qui fait tantôt l'objet d'un cours à part entière, tantôt la première partie d'un cours d'élasticité ou de mécanique des fluides. Comme la mécanique rationnelle, qui est souvent enseignée en parallèle, cette matière fait appel à des nombreux concepts mathématiques que l'étudiant possède, consolide ou découvre.

• En restructurant le programme des cours de mathématiques et en introduisant des cours de mécanique des fluides, la récente réforme des classes préparatoires à modifié le bagage de l'étudiant. Une concertation entre les professeurs des classes préparatoires et ceux des écoles d'ingénieurs s'avère donc nécessaire pour une meilleure harmonisation entre leur enseignements.  

• On se propose ici de survoler le contenu actuel du cours de mécanique milieux continus du Département "Hydraulique et Mécanique des Fluides" de l'ENSEEIHT afin de recenser les outils mathématiques essentiels pour son assimilation. Ce survol est susceptible de servir de point de départ pour un débat entre les enseignants de mathématique et de physique.

Quatre chapitre à caractère mathématique

• Avant d'énoncer les principes fondamentaux de la mécanique des milieux continus, le cours aborde quatre chapitres essentiellement mathématiques : grandes déformations, cinématique, hypothèse du continu et tenseur des contraintes. Contrairement à d'autres cours, la notion de tenseur est réduite au simple concept d'une matrice de composante obéissant aux règles de changement de base d'une application linéaire.

• L'étude locale des grandes déformations repose sur la notion de différentielle d'une application et l'utilisation intensive de la Jacobienne et du Jacobien. L'étude de la variation des longueurs des angles ou des volumes conduit à l'introduction de tenseur des dilatations. Elle nécessite une bonne maîtrise de la notion de produit scalaire, de la diagonalisation des matrices symétriques ou encore du produit mixte et des déterminants. La maîtrise des changements de variable dans les intégrales triples est importante pour aborder les représentations lagrangienne et eulérienne des champs continus et pour formuler le principe de conservation de la masse.

• L'étude de la cinématique des milieux continus nécessite de compléter cette panoplie d'outils par la maîtrise des systèmes d'équations différentielles ordinaires pour déterminer, par exemple, des trajectoires ou des lignes de champs. La décomposition de la différentielle du champ de vitesse en une matrice antisymétrique et une matrice symétrique définit les tenseurs des taux de rotation et de déformation. Enfin, les théorèmes de transport constituent une généralisation de la formule de Leibnitz au cas de la dérivation des intégrales triples sur des volumes transportés par le mouvement.
  

• L'hypothèse du continu permet de définir une densité volumique pour toutes les grandeurs physiques extensives. On montre alors que les champs de densité de surface directionnels, c'est-à-dire dépendant du vecteur normal à la surface considérée, définissent des grandeurs physiques extensives "si et seulement si" ils dépendent linéairement du vecteur normal. Ce théorème est à la base de la notion de flux, comme par exemple le vecteur flux de chaleur. La démonstration de ce théorème, par exemple à l'aide de familles de tétraèdres convergeant vers un point, nécessite de maîtriser la formule de Taylor et le passage à la limite pour des recouvrements de plus en plus fins.

• La généralisation de ce théorème aux champs de surfaces vectoriels permet de définir les tenseur des contraintes en considérant la densité des forces de contacts exercées sur un domaine quelconque. Le théorème de la divergence et sa généralisation à la divergence des tenseurs est nécessaire pour étudier le tenseur des contraintes et démontrer sa symétrie.

Des mathématiques à la mécanique

• Ces quatre chapitres à caractère mathématique étant traités, les chapitres suivants entrent alors dans le vif du sujet. L'énoncé des principes fondamentaux de la mécanique se traduit sous forme de lois de conservation : conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie. La fermeture des équations du mouvement  s'effectue en exprimant le tenseur des contraintes en fonction de la déformation (comportement élastique) ou du mouvement (comportement fluide). L'élasticité linéaire s'intéresse aux petites déformations des matériaux solides. Pour les matériaux homogène et isotropes, on démontre que la loi de comportement ne dépend que de deux coefficients. Cette démonstration nécessite de considérer les invariants polynomiaux d'un tenseur qui sont engendrés par sa trace, son produit contracté avec lui-même et son déterminant. Cette même démonstration permet d'aborder les lois de comportement de la mécanique des fluides newtoniens. Le cours se conclut par l'établissement des équations du mouvement découlant de ces deux lois de comportement : équation de Lamé pour l'élasticité linéaire et équation de Navier-Stokes pour la mécanique des fluides.
  

•  Trois outils mathématiques caractéristiques de la mécanique des milieux continus sont volontairement laissés de côté dans ce cours introductif afin de permettre une meilleur assimilation des concepts de base. Il s'agit de la notion de tenseurs, de la  notion de torseurs et de distributeurs ainsi que de leur dualité et enfin de la notion de puissances virtuelles. Ces notions sont néanmoins discutées sous forme de compléments.  

Bibliographie