Equation des cordes vibrantes

On étudie l'équation d'une corde tendue flexible. Initialement la corde est tendue le long de l'axe des x entre x=0 et x=L (voir figure 3-2.11), puis elle est mise en mouvement (Figure 3-2.12). La fonction y(x,t) représente le déplacement vertical d'un point de la corde.

Pour de petites vibrations de la corde autour de sa position initiale, les lois de la mécanique aboutissent à l'équations aux dérivées partielles suivante :

\[\frac{\partial ^2 y(x,t)}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial ^2 y(x,t)}{\partial x^2}~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.7)}\]

Comme la corde reste fixée à ses deux extrémités, on aura :

\(\forall t > 0,~~~ y(0, t) =~~ y(L, t) = 0\)

La forme de la corde à l'instant initial est donnée par :

\(\forall x, ~~~0 < x < L,~~~~ y(x, 0) = f(x)\), avec f fonction quelconque.

Enfin, la corde est lâchée sans vitesse initiale donc :

\(\forall x,~~~ 0<x<L,~~~~ \frac{\partial y(x,0)}{\partial t}=0\)

Comme dans le problème précédent, on utilise la méthode de séparation des variables et on pose : \(y(x, t) = X(x)T(t)\) puis on remplace dans l'équation 3-2.7.

\[X(x) \frac{\partial ^2 T(t)}{\partial t^2}=a^2 T(t) \frac{\partial ^2 X(x)}{\partial x^2}~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.8)}\]

Comme dans le cas de la barre chaufée, on aura alors :

\[ \frac{ T''(t)}{a^2 T(t)}= \frac{X''(x)}{ X(x)}~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.9)}\]

Les variables x et t sont indépendantes et l'égalité de l'équation ci-dessus n'a lieu que si la valeur commune du rapport est une constante que l'on note \(\lambda\). On en déduit deux équations différentielles :

\[ X''(x)- \lambda X(x)~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.10)}\]
\[T'(t)- \lambda a^2 T(t) = 0 ~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.11)}\]

Le signe de \(\lambda\) impose la forme des familles de solution. Si \(\lambda > 0\), alors la solution de l'équation 3-2.10 est de la forme :

\(X(x) = A exp(\sqrt {\lambda} x) +B exp(-\sqrt {\lambda} x)\)

Les conditions aux limites imposent que le déplacement de la corde soit toujours nul en \(x=0\) et en \(x=L\) ce qui conduit alors à \(A=B=0\), donc à \(X(x) = 0\) et \(y(x, t) = 0\). La solution nulle n'est pas la solution du problème car à \(t=0\), on a \(y(x, 0) = f(x)\). On en déduit que \(\lambda > 0\) et pour simplifier les notation on pose \(\lambda =- \xi ^2\).

La solution de 3-2.10 est de la forme :

\[X(x) = A \cos (\xi x)+ B \sin (\xi x) ~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.12)}\]

Les conditions aux limites imposent que le déplacement de la corde soit toujours nul en \(x=0\) et en \(x=L\) ce qui conduit alors à \(A=0\), puis à \(\sin ( \xi L) = 0\). Il existe un entier n tel que \(\xi = \tfrac{n \pi}{L}\).

D'où la famille des solutions possibles pour la fonction X :

\[X_n(x) = B_n \sin (\frac {n \pi x}{L}) ~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.13)}\]

On continue avec la résolution de l'évolution temporelle 3-2.11 :

\[T_n(t) = C_n \cos (a\xi t)+ D_n \sin (a\xi x) \text{~~~avec~~~} \xi = \frac {n \pi}{L} ~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.14)}\]

Et donc :

\[y(x,t)= \overset{\infty }{\underset{n=1}{\sum}}(B_n \sin (\frac{n\pi x}{L})) ( C_n \cos (a\xi t)+D_n \sin(a\xi t)) ~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.15)}\]

La corde est lâchée sans vitesse initiale donc :

\[\forall x, ~~~~ 0<x<L,~~~~\frac{\partial y(x,0)}{\partial t} = 0 ~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.16)}\]

Ceci conduit à :

\[\forall n, ~~~~ \frac{d}{dt}T_n(0) = \frac{an\pi}{L} \{ -C_n \sin ( \frac{an\pi 0}{L} )+ D_n \cos (\frac{an\pi 0}{L} )\} ~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.17)}\]

D'où \(\forall n ~~~~D_n = 0\) et :

\[y(x,t)= \overset{n=\infty }{\underset{n=0}{\sum}} F_n \sin(\frac{n \pi x}{L})) \cos (\frac{n a\pi t}{L}) ~~~\text{avec} ~~~F_n=B_nC_n~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.18)}\]

Il nous reste à satisfaire la condition initiale \(y(x, 0) = f(x)\) ce qui s'écrit :

\[y(x,0)=f(x)= \overset{n=\infty }{\underset{n=0}{\sum}} F_n \sin(\frac{n \pi x}{L})) ~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.19)}\]

D'après la théorie des séries de Fourier, les coefficients \(F_n\) sont les coefficients de Fourier de la fonction \(2L\)-périodique impaire et égale à \(f(x)\) sur \([0, L]\).

On aura donc :

\[F_n = \frac{2}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin ( \frac {2n\pi x}{2L}) dx = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin ( \frac {n\pi x}{L}) dx ~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.20)}\]

La solution complète du problème posé est alors :

\[F_n = \sum_{n=0}^{n=\infty} ( \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin ( \frac {n\pi x}{L}) dx) ~~ \sin ( \frac {n\pi x}{L}) ~ \cos ( \frac {n a\pi t}{L}) ~~~~~~~~~~~~~~\text{ (3-2.21)}\]

Les termes de cette série représentent les modes naturelles de vibration. La fréquence la plus basse ou fréquence fondamentale est donnée par\( f =\tfrac {a}{2L}\), les autres fréquences en sont les multiples (harmoniques). Le schéma ci-dessus montre l'évolution dans le temps et l'espace du premier terme de la série. Le schéma suivant celle deuxième et le dernier celle du cinquième.