Théorème de la limite centrée [Probabilités

Théorème de la limite centrée

Définition : Déﬁnition 4.3.1 (Convergence en loi)

Soit une suite $(X_n)$ de variables aléatoires. Cette suite converge en loi vers une variable aléatoire $X$ de fonction de répartition $F_X$ , si la suite des fonctions de répartition de $X_n$, $F_{X_n} $tend vers la fonction $F_X$ .

Soit : pour tout $x$ pour lequel $F_X$ est continue, $F_{X_n} (x)$ tend vers $F_X (x)$.

Exemple : Exemple 4.3.1

Une suite de variables aléatoires distribuées suivant la loi binomiale $B(n, p_n )$ avec $n p_n\rightarrow\lambda$ converge en loi vers une variable distribuée suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

En effet

$P(X_n=k)=C_n^k(p_n)^k(1-p_n)^{n-k}$

ce qui s'écrit :

$P(X=k)=(\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{n_k})(\frac{(np_n)^k}{k !})((1-\frac{np_n}{n})^{n-k})$

Le premier facteur tend vers 1 , le deuxième facteur tend vers $\frac{\lambda}{k !}$ le dernier facteur tend vers $e^{-\lambda}$

Ainsi :

$P(X=k)=C_n^k(p_n)^k(1-p_n)^{n-k}\rightarrow\frac{\lambda^k}{k !}e^{-\lambda}$

Donc la fonction de répartition de $X_n$ tend vers la fonction de répartition d'une variable de Poisson de paramètre $\lambda$.

On en déduit :

Propriété 4.3.1

Une variable aléatoire distribuée suivant la loi binomiale $B(n, p)$ peut être approximée par une variable distribuée suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda = n p$

Les conditions habituellement admises sont : $p < 0, 1, n > 50$ et $npq < 10$

Théorème 4.3.1 (Théorème de la limite centrée)

Soit $X_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi de distribution , dont les espérances mathématiques et les variances existent toutes, avec :

$E(X_n) = m ~;~ V (X_n) = \sigma^2$

Soit

$\bar{X} = \frac{\sum_{k = 1}^{k = n} X_{k}}{n}$

la moyenne arithmétique de ces $n$ variables aléatoires.

Alors la variable

$\frac{\bar{X} - m}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}$

converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale $N (0, 1)$.

Autrement dit : la variable $\bar{X}$ converge en loi vers une variable aléatoire normale $N (n,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$

Ce théorème a des conséquences très importantes notamment en statistique inférentielle.