Loi faible des grands nombres [Probabilités

Loi faible des grands nombres

Définition : Déﬁnition 4.2.1 (Convergence en probabilité)

Soit X une variable aléatoire et $(X_n)$ est une suite de variables aléatoires déﬁnies sur le même univers, la suite des variables $X_n$ converge en probabilité vers $X$ si :

$\forall ε > 0, \lim_{n \to + \infty} P (| X_{n} - X | < ε) = 1$

Autrement dit, l'écart entre les variables $X_n$ et $X$ peut être rendu aussi petit qu'on le veut.

Définition : Déﬁnition 4.2.2 (Convergence en moyenne quadrique)

Avec les mêmes notations, on dit que la suite des $X_n$ converge en moyenne quadrique vers $X$, si $E(X_n)$ tend vers $E(X)$ et si

$\lim_{n \to + \infty} V (X_{n} - X) = 0$

Théorème 4.2.1 (Loi faible des grands nombres)

Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi (par exemple binomiale), de même espérance mathématique $m $et de même variance $\sigma^2.$

Alors la moyenne des $X_k$ converge en probabilité vers $m $(variable aléatoire constante).

Si l'on fait une série d'épreuves répétées indépendantes et nombreuses, il est probable que la moyenne observée des $X_k$ soit voisine de l'espérance $m $. La probabilité que la moyenne observée s'écarte beaucoup de $m $est faible.

C'est le cas si l'on lance 5000 fois de façon indépendante une pièce de monnaie bien équilibrée, la moyenne observée d'apparition de ”pile” sera proche de $\frac{1}{2}$