Densité de probabilité
\(X\) est une variable aléatoire continue, dans ce cas \(X(\Omega)\) est un intervalle de \(\mathbb R\) et pour tout réel \(x\) la probabilité que \((X=x)\) est nulle. On définit alors, lorsque cela est possible, la fonction de répartition \(F\) , et la fonction densité de probabilité \(f\) :
Définition : 2.3.1
La densité de probabilité de \(X\) est une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\), positive, continue sur \(\mathbb R\) sauf peut être en un nombre fini de réels en lesquels \(f\) admet une limite à droite et à gauche et telle que :
\(F(x)=P(X<x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)dt\)
et
\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)dt=1\)
Aux points où \(F\) est dérivable, on a : \(F'=f\)
Il s'en suit que, quels que soient les réels \(a\) et \(b\) :
- \(P(X=a)=0\)
- \(P(X<b)=\int_{-\infty}^b f(x)dx=P(X\leq b)\)
- \(P(a<X<b)=\int_a^b f(x)dx\)