Application à une loi binomiale
Une application importante : approximation d'une loi binomiale (v.a.r. discrète) par une loi normale (v.a.r. continue).
Propriété 4.4.1
Une variable aléatoire distribuée suivant une loi binomiale \(B(n, p)\) converge en loi vers une variable distribuée suivant une loi normale \(N (np, \sqrt{npq})\) lorsque \(n\) tend vers l'infini.
La convergence est d'autant plus rapide que \(p\) est voisin de \(\frac{1}{2}\).
En effet la variable binomiale \(B(n, p)\) est la somme de \(n\) variables de Bernouilli \(X_i\) indépendantes d'espérance \(E(X_i ) = p\) et de variance \(\sigma^2 = pq\).
Les conditions du théorème de la limite centrée sont satisfaites.
La moyenne de ces \(n\) variables aléatoires converge en loi vers une v.a.r. normale \(N (p, \sqrt{\frac{pq}{n}})\)
La somme de ces \(n\) variables aléatoires converge en loi vers une v.a.r. normale \(N (np, n\sqrt{\frac{pq}{n}})\) soit la v.a.r. normale \(N (np, \sqrt{npq})\)
En pratique, on fait l'approximation de la loi binomiale par la loi normale dès que \(npq > 10\) et \(n > 30\). Il est cependant nécessaire d'effectuer une correction de continuité qui consiste à calculer, pour chaque valeur entière de \(k\) la différence de probabilités que donne la loi normale pour \(k + \frac{1}{2}\) et pour \(k − \frac{1}{2}\)
Dans la pratique :
\(B(n, p) \approx P(\lambda = np)\) pour \(n > 50\) ; \(p < 0, 1\) ; \(npq < 10\)
\(B(n, p) \approx N (np, \sqrt{npq})\) pour \(n > 30\) ; \(npq > 10\)
\(P(\lambda) \approx N (\lambda, \sqrt{\lambda})\) pour \(n > 30\) ; \(\lambda > 20\)